马尔可夫不等式计算器

马尔可夫不等式指出,对于 \(a > 0\) 值,对于任何不带负值的随机变量 \(X\),我们总是观察到以下上限：

\[\Pr(X \ge a) \le \displaystyle \frac{E(X)}{a} \]

考虑到马尔可夫不等式适用于任何非负随机变量 \(X\) 的普遍性,马尔可夫不等式对于估计概率非常重要。

事实上,马尔可夫不等式对于证明广泛使用的不等式至关重要,即 切比雪夫不等式 ,它是更严重的不等式的基础,即霍夫丁不等式。

马尔可夫的不等式直觉

马尔可夫不等式背后的直觉是什么？嗯,首先,有一个明确的因素,即右尾的概率有一个上限,随着我们得到更远的右尾,这个上限会越来越小,这实际上非常明显。

观察不等式的性质,即 \(\frac{E(X)}{a}\) 不是尾部概率的确切值,而只是一个上限。这个界限有多近？好吧,现在我们知道这取决于实际分布,但是还有更尖锐的不等式,例如 Hoeffding 不等式。

但是,数学中有一条非常明确的规则：假设越一般（越不具体）,定理就越弱。因此,考虑到马尔可夫不等式的假设非常普遍,它的存在真是太棒了。

例如, 经验法则 是一个更严格的不等式,但它做出了一个更强有力的假设：基础分布是正态的。马尔可夫不等式适用于任何分布（非负变量）