有关此辅因子矩阵计算器的更多信息。

辅因子与矩阵的逆密切相关,它们是矩阵的垫脚石 伴随法 习惯于 计算矩阵的逆 （当它存在时）。

可能在不知道的情况下,您在计算 矩阵的行列式 3x3 或更大。因此,正如您所怀疑的,辅因子与删除一行和一列时获得的行列式有关。

你如何找到矩阵的辅因子？

首先是计算次要矩阵。所以,对于给定的n×n矩阵\(A\),次要矩阵的第i行第j列的元素等于去掉第i行和j形成的子矩阵的行列式- 给定矩阵 \(A\) 的第 列。

所以,如果我们将 \(A\) 的第 i 行和第 j 列删除得到的子矩阵调用 \(A[i,j]\),我们正式定义小数矩阵 \(M\) 为：

\[ M_{ij} = \det A[i,j]\]

请注意,如果 \(A\) 是 n x n 矩阵,则 \(M\) 也是 n x n。

那么,什么是辅因子矩阵？

差不多好了。因此,minor 是包含所有这些行列式的矩阵,这些行列式是通过删除一行和一列获得的相应子矩阵。辅因子几乎就是这样,除了你添加一个符号（正或负）,取决于 i 和 j。

实际上,辅因子矩阵 \(C\) 定义为：

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[i,j]\]

这看起来很像你在计算行列式时使用的,对吧？因此,为了计算辅因子矩阵,您需要 计算一堆行列式 .

如何通过步骤使用此 Cofactor 矩阵计算器

为了使用这个辅因子计算器,您需要做的就是提供矩阵\(A\)。计算器将指导您完成计算辅因子和符号的过程。

辅因子矩阵计算示例

问题： 假设您有以下矩阵

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

解决方案： 我们需要计算已经提供的 \(3 \times 3\) 矩阵的辅因子矩阵。

首先我们计算次要矩阵。我们有,根据定义,次要矩阵 \(M\) 由公式定义

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

在这种情况下,\( A^{i,j}\) 是删除行 \(i\) 和列 \(j\) 之后的矩阵 \(A\)。

因此,基于矩阵\(A\),我们得到了minors矩阵的以下系数：

对于 \(A^{ 1, 1}\)：

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 5\]

对于 \(A^{ 1, 2}\)：

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

对于 \(A^{ 1, 3}\)：

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

对于 \(A^{ 2, 1}\)：

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

对于 \(A^{ 2, 2}\)：

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

对于 \(A^{ 2, 3}\)：

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

对于 \(A^{ 3, 1}\)：

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 3 \cdot \left(1 \right) = -1\]

对于 \(A^{ 3, 2}\)：

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = -1\]

对于 \(A^{ 3, 3}\)：

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -1\]

总而言之,未成年人矩阵是：

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

现在,我们可以使用公式计算辅因子矩阵 \(C\) 的元素

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

上面的公式可以直接使用,因为未成年人已经知道了。我们得到

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 5 = (-1)^{ 2} \cdot 5 = 5\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = -1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 6} \left(-1\right) = 1\]

综上所述,辅因子矩阵为：

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle -3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

计算结束。