单位圈
这 单位圆 是数学中最容易识别的对象之一,它横跨多个数学科目,包括代数,微积分,几何和三角学。
事实上,单位圆是理解许多数学概念最常用的 "实验室 "之一。单位圆集代数（圆的方程）,微积分（斜率,切线和面积）,几何（角度,三角形和勾股定理）和三角学（正弦,余弦和正切）于一身。
什么是单位圆？
从名称上就能看出来：单位圆是半径为 \(r=1\) 的圆,为方便起见,假定它以原点 \((0, 0)\) 为圆心。请注意,我们讨论的是二维情况。
角度和单位圆
单位圆或任意半径的圆是处理角的一种非常实用的方法。让我们回顾一下,角的度量与角所跨过的圆周长成正比。
例如,如果一个角横跨圆周的四分之一,而它的原点与圆心相同,那么这个角的度量就是全角度量的四分之一,即 360/4=90 o 如果以度为单位,则为 \(2\pi/4 = \pi/2\)；如果以弧度为单位,则为 \(2\pi/4 = \pi/2\)
.在其他一些情况下,角的原点与圆心并不相同,如下图所示：
三角函数和单位圆
使用单位圆对处理三角函数非常有用。事实上,如果我们在半径为 \(r\) 的圆中有一个点 \((x,y)\),那么我们可以得出
\[\large \sin \alpha = \frac{y}{r}\] \[\large \cos \alpha = \frac{x}{r}\] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]其中 \(\alpha\) 是下图所示的角度：
但是,当 \(r = 1\),即半径为 1 时（单位圆就是这种情况）,我们会发现
\[\large \sin \alpha = y \] \[\large \cos \alpha = x \] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]
因此,当圆的半径为 1 时,三角函数的运算就容易得多,一切都变得更加直观。我们还可以使用 "角的正弦为对边 "和 "角的余弦为邻边 "等记忆规则。
单位圆方程
那么,最大的问题是,什么是单位圆公式？对于以原点为圆心的单位圆,其上任意一点 \((x, y)\) 所满足的方程是：
\[\large x^2 + y^2 = 1\]属于半径为 1 的圆的任何一对 \((x, y)\) 必须满足上述条件。如果点 \((x, y)\) 不满足上述条件,那么它就不属于圆。
单位圆公式一般是什么？
上述公式只是以原点为圆心的单位圆的最简单情况。如果要计算以 \((x_0, y_0)\) 为圆心的单位圆的一般圆公式,我们需要使用下面的公式：
\[\large (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = 1\]对于这种更一般的情况,您可以使用以下命令 圆方程计算器 它告诉你如何从合适的二次方程得出圆公式的所有步骤。
如何快速记忆单位圆？
虽然严格来说没有必要,但记住单位圆中的重要角度可能会很有用。由于科学计算器很容易获得,这感觉有点多余,但这样做肯定有助于你对单位圆的理解。
当然,你不可能学会所有著名的角度（或许你可以）,但至少最好知道 \(\pi\)最显著的倍数,如 \(\frac{\pi}{2}\),\(\frac{\pi}{3}\),\(\frac{\pi}{4}\) 等。
为什么叫单位圆？
答案很简单：它之所以被称为单位圆,首先是因为它是一个圆,其次是因为它的半径等于 1。 单位 或 单一 这是因为半径为 1。
在代数,微积分和解析几何中,需要使用限定词 "单位",因为并非所有涉及的圆实际上都是单位圆。但在三角学中,当你提到圆时,除非明确指定,通常默认为单位圆。
单位圆是无限的吗？
回答这个问题有几种方法,答案也各不相同。就面积而言,单位圆不是无限的,因为它的面积等于 \(\p\)。
现在,我们可以说单位圆是由无数个点组成的,这是正确的,这意味着它在某种意义上是 "无限的"。
所以答案取决于你如何定义 "无限"。
实例1
点 \(\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) 是否属于单位圆？
回答：
我们需要验证该点是否满足上面定义的方程。我们得到
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+ \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1 \]因此,在这种情况下,点 \( \displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) 确实属于单位圆
示例 2
点 \(\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) 是否属于单位圆？
回答：
我们需要验证该点是否满足上面定义的方程。我们得到
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{4}{9} = \frac{25}{36} \]因此,在这种情况下,点 \( \displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) 不属于单位圆
关于单位圆的更多信息
我经常遇到的一个问题是,单位圆的方程是否描述了一个函数。答案是否定的。事实上,单位圆方程定义的是一种关系。
至少有两种方法可以知道。学生们最喜欢的是 "垂直线测试"。我们有如下图表：
请看上图,我们可以看到这条垂直线在不止一点上与图形相交。结论是,该图表示的是一种关系,而不是函数。
现在,如果您想知道半径不为 1 且圆不以原点为圆心时会发生什么情况,请查看我们的教程,了解一般的 圆的方程 中处理了一般情况。
如何转换单位圆？
单位圆可以通过改变圆心和半径进行转换。当然,这样做得到的并不是单位圆,而是一个 总圈 而不是。
中心和半径的这些变化可以分别看作是几何上的平移和拉伸。
单位函数和三角函数
单位圆与所有三角函数紧密相连。正弦和余弦直接由顶点在圆上的三角形的边表示。此外,以弧度为单位的角的度量也与所产生的弧的角度和长度密切相关。
弧度是圆的自然角度度量,不过有些人倾向于使用度数,感觉更舒适。请使用 弧度到度的转换 如果您觉得使用度数而不是弧度更方便,可以进行任何所需的转换