计算器几何学

距离公式

指示： 使用这个逐步式距离公式计算器,在下表中输入信息,计算两点之间的距离：

距离公式计算器

欧几里得平面上两点之间的距离是几何学的基本概念之一。不过,它并不是一个静态或普遍的概念,因为数学中存在许多潜在的 "距离 "测量方法。

事实上,不同类型的几何学可以使用不同类型的距离。而所有这些几何,包括欧几里得几何,都定义了符合逻辑和一致性的距离,并拥有距离应有的所有属性。

如何计算距离？

本计算器基于欧几里得几何的距离。假设我们有两个点 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\),那么距离公式计算如下,使用以下公式：

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \]

这通常是两点之间的距离公式,最常见的解释是我们的感官所感知到的实际物理距离。

为什么要计算距离？

距离是人类最基本的几何概念之一,距离的概念是几何学中许多思想的基础,而几何学又是数学这门学科的基础。

计算距离关系到很多实际问题,比如事物之间的距离,尤其是当事物之间的距离不近时,明确的距离概念起着至关重要的作用。

距离公式解释

上面的表达式定义了如何将公式用于给定的两个点。操作很简单：将点 1 的第一个分量与点 2 的第一个分量相减,然后将结果平方。

第二点也是如此：减去第一点的第二分量和第二点的第二分量,然后将结果平方。将这两个平方值相加,然后对其结果取平方根。最后得到的数字就是距离

如何解决距离问题？

这个问题没有统一的答案,因为距离问题的形式多种多样。通常情况下,会给你两点,要求你计算距离 .这可能是最简单的类型。

但是,你可以随心所欲。例如,你给圆圈（与相应的圆方程 ),并询问圆中的哪些点位于某个固定的给定距离 \(D\)。这样的问题肯定比前一个问题难。

距离公式问题的形式多种多样,难度可想而知。当然,在基础课程中,你可能只会直接应用公式。

距离的例子是什么？

几何距离是距离最明显的例子。例如,如果有一个边2的平方其左下角位于原点,而您想计算距离在左下角和右上角之间,你可以计算出

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \displaystyle \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 2)^2} = \displaystyle \sqrt{2^2 + 2^2} = \displaystyle \sqrt{8} = \displaystyle 2 \sqrt{2} \]

还有其他距离的例子,其解释与物理学中的距离相似。事实上,这些都是紧密相关的,但其中也有很多微妙之处。

这与中点公式有什么关系？

这中点公式与距离公式密切相关,因为中点是一个特殊的点,具有从其中一个点到它的距离等于总距离一半的特殊性质。

实例

假设我们有两个点 \((1, 3)\) 和 \((4, 8)\),那么距离公式计算如下：

\[ D = \displaystyle \sqrt{(1 - 4)^2 + (3 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

上面的平方根 \(\sqrt 34\) 无法进一步简化,所以我们就这样算了。有时,你会被要求给出一个近似的十进制答案,在这种情况下就是 \(\sqrt 34 \approx 5.8310 \)。

距离必须是二维的吗？

不一定。实际上,我们可以在 n 维空间中有两个点：\(u = (u_1, u_2, ..., u_n)\) 和 \(v = (v_1, v_2, ..., v_n)\)。现在计算距离的方法是将所有分量的差值平方,然后相加并取平方根：

\[ D = \displaystyle \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + ... + + (u_n - v_n)^2} \]

距离与毕达哥拉斯有关系吗？

没错！你的直觉告诉你,平方和的平方根非常类似于毕达哥拉斯定理以及当你解三角形 .

这是因为我们是用毕达哥拉斯几何学的方法来定义两点之间的距离,也就是用给出的点来定义三角形顶点的斜边大小。

或者,您也可以获取这两个点,然后计算中点 .