更多这个带有步骤的矩阵转置计算器

矩阵转置的想法经常出现在不同的上下文中。正如我们经常看到的,矩阵在以下方面非常有用 求解线性系统 ,其中方程系数由行表示。

在某些情况下,考虑由列表示的系数可能很有用,对于这些系数,转置矩阵会派上用场。

你如何找到矩阵的转置？

通常在数学中,会有一种使用符号定义转置的方法。让我们先尝试一下。考虑 \(A\) 和给定矩阵,其大小为 \(m \times n\)（因此,它有 \(m\) 行和 \(n\) 列）。

转置矩阵 \(A^T\) 将是一个 \(n \times m\) 矩阵（具有 \(n\) 行和 \(n\) 列）,定义如下：

\[ A^{T}_{ij} = A_{ji} \]

因此,\(A^T\) 的坐标 \((i, j)\) 中的元素（即 i 行 j 列）与 \(A\) 中坐标 <>。

最后,这是一种奇特的说法,即 \(A^T\) 的行是使用 \(A\) 的列构造的。干净利落。

所以它非常简单,您必须按照以下步骤操作：

1. 建立要转置的矩阵A
2. 识别矩阵 A 的列
3. 通过使用您确定为 A 的列的行来形成转置矩阵

求矩阵转置的过程

我们在上面找到的内容为我们提供了一个轻松找到矩阵转置的过程。

步骤1： 识别并列出给定矩阵的列,并列出它们。

第2步： 将您在步骤 1 中找到的那些列用作新矩阵的行。那个新矩阵就是你的\(A^T\)。完毕。

什么是 2x4 矩阵的转置？

细说,2x4 矩阵的转置是 4x2 矩阵。您需要获取给定的原始 2x4 矩阵的 4 列,并使用这些列设置为 4x2 转置的行

什么是对称矩阵？

矩阵对称的思想与矩阵的转置密切相关。事实上,当\(A^T = A\) 时,可以说矩阵\(A\) 是对称的。

因此,对称矩阵是那些在转置后保持不变的矩阵。所以一种方法 评估矩阵是否对称 是通过计算其转置并将其与原始矩阵进行比较。

转置是您可以对矩阵执行的唯一操作吗？

绝对不！矩阵是多用途的对象,就像您可以使用的数字一样 添加矩阵 , 减去 和 乘法矩阵 ,甚至在某些情况下,您可以划分矩阵（前提是它们是可逆的）。

矩阵转置示例

问题： 考虑以下矩阵

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} \]

计算相关的转置矩阵 \(A^t\)。

解决方案： 注意我们给定矩阵的大小是\(3 \times 3\),那么转置矩阵的大小是\(3 \times 3\)

矩阵\(A\)的转置,我们称之为\(A^T\),形式上是逐个组件定义的,如使用公式所示

\[ A^{T}_{ij} = A_{ji}\]

也就是说,转置矩阵第i行第j列的元素与原矩阵第j行第i列的元素相同< >。

因此,给定 \(A\) 矩阵的第 i 列对应于转置矩阵的第 i 行。因此,为了计算矩阵 \(A\) 的转置,我们只取它的列,并将它们作为转置矩阵的行。所以我们得到：

\[ A^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{bmatrix} \]

这结束了转置 \(A^T\) 的计算。

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