Формула экспоненциального затухания
Формула экспоненциального распада очень полезна, и на практике она используется во МНОГИХ приложениях, включая моделирование радиоактивного распада.
Наша основная цель в этом руководстве - узнать о формуле экспоненциального распада, когда ее применять и как обращаться с ее параметрами.
Алгебраически говоря, экспоненциальный спад выражение - любое выражение формы
\[\large f(x) = A e^{-kx}\]где \(k\) - это действительное число, такое что \(k > 0\), а также \(A\) - это действительное число, такое что \(A > 0\).
Обычно параметр \(A\) называется Начальное значение , а параметр \(k\) называется постоянная распада или скорость распада .
Например
\[\large f(x) = e^{-x} \]а также
\[\large g(x) = e^{-2x} \]оба соответствуют функциям с экспоненциальным убыванием.
Как эти функции с экспоненциальным затуханием выглядят ГРАФИЧЕСКИ? Посмотрите это ниже:
Мы можем заметить, что обе функции ДЕЙСТВИТЕЛЬНО БЫСТРО РАСПАДАЮТСЯ.
Что мы подразумеваем под РАСПАДОМ ??? Они распадаются в том смысле, что они быстро приближаются к нулю по мере того, как \(x\) становится все больше и больше (\(x \to +\infty\)).
Действительно, обе функции после, скажем, \(x > 4\) очень малы (график почти касается оси y).
Также, если мы обратим внимание, мы поймем, что \(e^{-2x}\) распадается БЫСТРЕЕ, чем \(e^{-x}\).
ВОПРОС :
Выполняет следующие функции:
\[\large f(x) = 2^{-x}\]имеют экспоненциальный спад ???
Ответ ДА.
Хотя изначально вы могли подумать: "Ну, это не экспоненциальный спад, потому что я нигде не вижу '\(e\)' ...". Итак, это очень наблюдательно.
НО, не забывайте, что мы можем писать
\[\large 2 = e^{\ln 2}\]так что функция
\[\large f(x) = 2^{-x}\]можно переписать как
\[\large f(x) = 2^{-x} = \left(e^{\ln 2}\right)^{-x} = e^{-(\ln 2) x}\]Приведенный выше расчет доказывает (кашель, кашель, извините, я знаю, что вам не нравится это слово), что \(2^{-x}\) - это функция с экспоненциальным затуханием с константой затухания \(k = \ln 2\).
ПРИМЕР 1:
Найдите начальное значение и скорость затухания для следующей функции:
\[\large f(x) = 3 e^{-4x}\]ОТВЕЧАТЬ:
Основываясь на данной функции, мы напрямую получаем, что начальное значение в этом случае - \(A = 3\), а скорость затухания - \(k = -4\).
ПРИМЕР 2:
Определите, имеет ли приведенное ниже выражение экспоненциальное затухание, и если да, найдите его начальное значение и скорость затухания:
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]ОТВЕЧАТЬ:
Обратите внимание, что мы не видим '\(e\) непосредственно в выражении, НО не забывайте, что мы можем написать
\[\large 3 = e^{\ln 3}\]так что функция
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]можно переписать как
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x} = \frac{1}{2} \left(e^{\ln 3}\right)^{-2x} = \frac{1}{2} e^{-2(\ln 3) x}\]Следовательно, это функция с экспоненциальным затуханием, и ее параметры: начальное значение \(A =\frac{1}{2}\) и экспоненциальное затухание \(k = 2(\ln 3)\).
Приложения: как найти параметры экспоненциальной формулы
Часто нам не просто задают параметры экспоненциального затухания. Ага. Иногда эти параметры необходимо рассчитать на основе определенной предоставленной информации, и тогда вам нужно позаботиться о том, как решить экспоненциальный распад.
Эта информация обычно предоставляется в одном из следующих двух типов:
Тип 1:
Мы знаем, что существует экспоненциальный спад, и нам дано начальное значение и
период полураспада
Тип 2:
Мы знаем, что существует экспоненциальный спад, и нам дается значение функции в два разных момента времени.
Заметки о Half-Life
Половина времени соответствует времени, за которое функция с экспоненциальным убыванием принимает значение, равное половине своего первоначального значения.
Итак, предположим, что \(h\) - это период полураспада \(f(x) = A e^{-kx}\), а \(A\) известен. Как рассчитать скорость распада \(k\) ?? Заметьте, что когда \(x = h\) у нас будет ровно ПОЛОВИНА того, что у нас было изначально:
\[A/2 = f(h) = A e^{-k h}\]и решение этого приводит к
\[A/2 = A e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)= \ln\left(e^{-k h}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -k h\] \[\Rightarrow \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2\]При работе над реальной проблемой вы можете либо использовать формулу напрямую, либо просто сделать вывод, который мы сделали, установив информацию о периоде полураспада.
ПРИМЕР 3:
Предположим, что функция имеет начальное значение \(A = 3\), а ее период полураспада \(h = 3\). Также предположим, что функция имеет экспоненциальный спад. Найдите скорость экспоненциального затухания.
ОТВЕЧАТЬ:
Итак, это первый случай того типа информации, который нам может быть предоставлен. Нам нужно найти начальное значение \(A\) и скорость затухания \(k\), чтобы полностью определить формулу экспоненциального затухания.
В этом случае нам уже дано \(A = 3\), поэтому все, что нам осталось, это вычислить константу распада \(k\). Поскольку нам известен период полураспада, мы можем вычислить скорость распада напрямую, используя формулу:
\[ \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2 = \frac{1}{3} \ln 2 \approx 0.231049 \]Следовательно, формула экспоненциального затухания имеет вид
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 3 e^{-\frac{1}{3} \ln 2 x} \approx 3 e^{-0.231049 x} \]ПРИМЕР 4:
Предположим, что функция имеет начальное значение \(A = 5\), а когда \(x = 4\), у нас есть это \(f(4) = 2\). Также предположим, что функция имеет экспоненциальный спад. Найдите формулу экспоненциального затухания.
ОТВЕЧАТЬ:
Итак, это первый случай того типа информации, который нам может быть предоставлен. Нам нужно найти начальное значение \(A\) и скорость затухания \(k\), чтобы полностью определить формулу экспоненциального затухания.
В этом случае нам дается \(A = 5\), а затем все, что нам нужно вычислить, - это константа распада \(k\). Поскольку мы знаем значение функции при \(x = 4\):
\[ 2 = f(4) = 5 e^{-k \cdot 4}\] \[\Rightarrow 2 = 5 e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \frac{2}{5} = e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln\left(e^{-4k}\right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln 2 - \ln 5 = -4k\] \[\displaystyle \Rightarrow k = -\left(\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4}\right) \approx 0.229073 \]Итак, теперь, когда мы вычислили коэффициент затухания, мы получаем, что формула экспоненциального затухания имеет вид
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 5 e^{-\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4} } \approx 3 e^{-0.229073 x} \]Если мы изобразим эту функцию на графике, получится следующее:
Подробнее об экспоненциальном распаде
Экспоненциальное затухание - это модель, в которой экспоненциальная функция играет ключевую роль и является одной очень полезной моделью, которая соответствует многим теориям реальных приложений. Наиболее известное применение экспоненциального распада связано с поведением радиоактивных материалов.
Действительно, радиоактивный материал следует уравнению экспоненциального распада, и каждый материал имеет (в зависимости от его собственной летучести) свое полупериод, то есть время, необходимое для того, чтобы количество радиоактивного материала уменьшилось до половины.
Обычно формула радиоактивного распада записывается как
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-kt} \]или иногда это выражается в терминах периода полураспада \(h\) как
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-\left(\frac{1}{h} \ln 2 \right)t}\]Что означает экспоненциальный распад?
Математически функция имеет экспоненциальное затухание, если ее можно записать в форме \(f(x) = A e^{-kx}\). Для многих из вас это не слишком много значит.
Хорошо, это нормально, так что мы можем описать экспоненциальный распад. Вы можете подумать, что наличие экспоненциального затухания означает "ДЕЙСТВИТЕЛЬНО быстрое затухание". Хотя функции с экспоненциальным распадом DO распадаются очень быстро, не все функции, которые действительно быстро распадаются, имеют экспоненциальное затухание.
Например, рассмотрим \(f(x) = \frac{1}{x^2}\). Если вы построите график этой функции, вы увидите, что она затухает очень быстро, но на самом деле у нее нет экспоненциального затухания.
Если бы вы описали экспоненциальный распад, помимо алгебраических терминов его определения, вам нужно было бы сказать, что функция имеет экспоненциальное затухание, если она затухает очень быстро, но она ТАКЖЕ имеет важное свойство:
Независимо от значения функции в определенной точке \(x\), существует значение \(h\), так что значение значения функции в точке \(x+h\) составляет половину значения функции в \(x\).
Другими словами, существует постоянное значение \(h\) (да, как вы уже догадались, период полураспада), которое имеет свойство, заключающееся в том, что функция уменьшает свое значение до половины после единиц \(h\).
Функция \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), хотя и быстро распадается, не имеет указанного выше свойства (период полураспада).