Калькулятор неравенства Маркова

Неравенство Маркова утверждает, что для значения \(a > 0\), у нас есть для любой случайной величины \(X\), которая не принимает отрицательных значений, всегда соблюдается следующая верхняя граница:

\[\Pr(X \ge a) \le \displaystyle \frac{E(X)}{a} \]

Неравенство Маркова очень важно для оценки вероятностей, учитывая его общность в том смысле, что оно применяется к любой неотрицательной случайной величине \(X\).

Действительно, неравенство Маркова имеет решающее значение для доказательства широко используемого неравенства, а именно: Неравенство Чебышева , и это основа еще более резкого неравенства - неравенства Хёффдинга.

Интуиция о неравенстве Маркова

Какая интуиция стоит за неравенством Маркова? Ну, во-первых, есть очевидный фактор: вероятность на правом хвосте имеет верхнюю границу, которая уменьшается все больше и больше по мере того, как мы получаем более дальний правый хвост, что на самом деле довольно очевидно.

Обратите внимание на характер неравенства: \(\frac{E(X)}{a}\) - это не точное значение вероятности хвоста, а только верхняя граница. Насколько близко это ограничение? Что ж, теперь мы знаем, что это зависит от фактического распределения, но все же существуют более резкие неравенства, такие как неравенство Хёффдинга.

Но все же в математике есть очень четкое правило: чем более общие (менее конкретные) предположения, тем слабее теорема. Итак, довольно удивительно, что неравенство Маркова существует, учитывая очень общий характер его предположений.

Например, эмпирическое правило неравенство гораздо более жесткое, но оно делает гораздо более сильное предположение: лежащее в основе распределение является нормальным. Неравенство Маркова работает для любого распределения (неотрицательной переменной)