Область определения функции - это набор, в котором функция четко определена. Более конкретно, пусть \(f: D \rightarrow R\) будет функцией, что означает, что \(f(a)\) хорошо определен для \(a \in D\). Доменом функции \(f\) является набор \(D\).

Математически вы напишете \(dom(f) = D\).

С другой стороны, диапазон функции - это набор значений, которые могут быть достигнуты с помощью функции.

Более конкретно, пусть \(f: D \rightarrow R\) будет функцией, диапазон - это набор всех возможных значений \(b \in R\), для которых существует \(a \in D\), такое что \(f(a) = b\).

Часто диапазон функции записывается как \(R(f)\) или также как \(f(D)\) (который также известен как набор изображений \(D\) через функцию \(f\)).

Крайне важно знать область определения функции, потому что это дает нам безопасный набор значений, на которых функция хорошо определена.

Тогда диапазон важен, потому что он говорит нам, какие значения достигаются функцией. Более графическая интерпретация такова: точка \(b\) находится в диапазоне \(f\), если горизонтальная линия \(y = b\) пересекает график функции \(f(x)\).

Как вычислить Домен на практике?

Вот как найти домен и диапазон :

Для домена вам нужно сначала найти точки, в которых функция НЕ определена. Источником неопределенных операций является деление на ноль или квадратный корень отрицательного числа.

Итак, вам нужно найти те точки (если есть), где происходят эти неопределенные операции. И домен будет остальными точками, то есть всеми точками, за исключением тех, которые вы обнаружите, которые вызывают неопределенные операции.

Как вычислить Range на практике?

Пусть \(y\) будет числом, и мы решим для \(x\) следующее уравнение \(f(x) = y\). Значение \(y\) находится в диапазоне, если \(f(x) = y\) может быть решено для \(x\).

Так что это немного сложнее: вам нужно определить, нужно ли каким-либо образом ограничивать \(y\), чтобы \(f(x) = y\) имел решение для \(x\).

ПРИМЕР 1

Вычислить домен и диапазон функции \(\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}\).

ОТВЕЧАТЬ:

Во-первых, нам нужно вычислить домен. Нам нужно увидеть, где функция хорошо определена. Обычно легче начать с того, где это НЕ четко определено.

Итак, в этом случае все операции кажутся допустимыми, за исключением одного: знаменатель не может быть равен нулю.

Примечание: Основные ключи к поиску домена - это определить точки, в которых есть потенциальные деления на ноль или потенциальные квадратные корни из отрицательных значений, что является недопустимой операцией.

Следовательно, функция четко определена, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ, когда \(x-1 = 0\), что происходит, когда \(x = 1\). Следовательно, мы говорим, что домен - это вся реальная линия, за исключением значения \(1\).

Используя обозначение интервалов, мы бы написали \(dom(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\).

Теперь нам нужно вычислить диапазон. Как правило, получить диапазон может быть немного сложнее, чем получить домен, но поехали.

Есть много способов найти диапазон: некоторые могут полагаться на графическое представление функции, чтобы сделать заявление о диапазоне функции. Это могло бы сработать, но это не настоящий ответ, а только образованная догадка.

Другой способ - формальный математический: пусть \(y\) будет числом, и мы решим для \(x\) следующее уравнение \(f(x) = y\). Значение \(y\) находится в диапазоне, если \(f(x) = y\) может быть решено для \(x\).

В этом случае мы имеем:

Итак, когда \(x\) хорошо определен? Почти для всех \(y\), кроме случая \(y = 1\), потому что в этом случае у нас есть деление на \(0\). Следовательно, диапазон \(f\) в этом случае - это вся вещественная линия, кроме 1.

Используя обозначение интервалов, мы бы написали \(R(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\).

ПРИМЕР 2

Вычислить домен и диапазон функции \(\displaystyle f(x) = \sqrt{x+1}\).

ОТВЕЧАТЬ:

Помните, что для поиска домена нам нужно искать точки, в которых могут произойти недопустимые операции (деления на ноль или квадратные корни из отрицательных значений. В этом случае делений нет, но мы должны убедиться, что \(x+1\ge 0\), чтобы не было квадратных корней отрицательных значений.Тогда нам нужно \(x \ge -1\). Используя обозначение интервала, мы бы написали \(dom(f) = [-1, +\infty)\).

Теперь для диапазона нам нужно найти \(x\): \(\sqrt{x+1} = y\). Квадратный корень из чего-либо никогда не бывает отрицательным, поэтому, по крайней мере, нам нужен \(y \ge 0\).

Кроме того, применив квадрат к обеим сторонам, мы получим \(x+1 = y^2\), поэтому решение будет \(x = y^2-1\). Итак, единственное ограничение, которое нам нужно наложить на \(y\), - это \(y \ge 0\). Следовательно, используя обозначение интервалов, мы будем писать \(R(f) = [0, +\infty)\). Графически: