Решение логарифмических уравнений
Решение логарифмических уравнений - это то, что вам нужно сделать часто при работе с алгебраическими процедурами, и стоит разрабатывать конкретную стратегию для их решения.
То, что вы узнаете в этом руководстве, являются основными стратегиями, которые вам необходимо следовать для решения логарифмических уравнений.
Что такое логарифмическое уравнение?
Первое, что нам нужно, это определить, что является логарифмическим уравнением.
Логарифмическое уравнение - это уравнение, которое включает в себя по меньшей мере одну неизвестную переменную, где логарифмическое выражение появляется в по меньшей мере, в одной стороне уравнения
Отказ
Пример логарифмического уравнения
\[\ln x = 2\ln x - \ln 3\]или также
\[ \ln(3x-1) - \ln(2x + 1) = 1\]
Обратите внимание, что логарифмическое уравнение может содержать более одного неизвестного, как, например,
Стратегии решения логарифмических уравнений
Первый отказ от ответственности состоит в том, что нет пуленезных способов решения логарифмического уравнения, ни общего уравнения для этого вопроса.Причина для этого все методы предполагают определенную структуру в уравнении, что не обязательно там во всех уравнениях.
Итак, мы не можем найти способ решения логарифмических уравнений, потому что нет ни одного способа, который будет иметь дело со всеми возможными случаями.
Тем не менее, есть пару стратегий, которые следует следовать, что даст вам лучший шанс пройти через уравнение и найти решение, если кто-то существует.
Во-первых, попробуйте группировать все логарифмическое выражение в одно логарифмическое выражение.
Это достигается, как правило, используя наиболее распространенные ПРАВИЛА ЖУРНАЛА. , что позволяет вам компактно компактное выражение логарифмического значения, если структура выражения позволяет так.
Во-вторых, как только логарифмические выражения будут максимально уплотнены, вы избавитесь от них, как правило, применяя экспоненциальную функцию для обеих сторон равенства.
Надеюсь, этот последний шаг удалит все логарифмы с картинки, и она позволит вам решить для неизвестных (ы).
Так, другими словами, решение логарифмического уравнения состоит из группировки логарифмических выражений, устраняя их путем применения экспоненциальных, а затем решить уравнение в качестве регулярного уравнения.
Очевидно, что когда вы избавились от логарифмов, вы сталкиваетесь с уравнением, которое может иметь свои проблемы.
Решение различных примеров логарифмических уравнений
Нет лучшего способа узнать, как решать уравнения, чем на самом деле практиковать их:
Пример 1:
Решите следующее уравнение:
\[\large 4 \log(\sqrt x) = \log(6x-1)\]ОТВЕЧАТЬ:
Давайте будем следовать стратегиям.Идея состоит в том, чтобы компактные логарифмические выражения как можно больше.Это вызов суждения, потому что основной идеей является по существу избавиться от логарифмов.
Использование правил журнала мы можем поставить "4" внутри логарифма как
\[\large 4 \log(\sqrt x) = \log(6x-1)\] \[\large \Rightarrow \log((\sqrt x)^4) = \log(6x-1)\] \[\large \Rightarrow \log(x^2) = \log(6x-1)\]Теперь, когда логарифмические выражения как можно более уплотнены, нам нужно избавиться от логарифмов.
Один из способов сделать это - применить экспоненциальную функцию \(10^x\) к каждой стороне равенства.Что я имею в виду под этим ???
Ну, у вас есть две стороны в этом равенстве.Поскольку обе стороны одинаковы, при использовании в качестве аргументов функции \(10^x\), это должно сохранить равенство.Итак, у нас есть
\[\large \log(x^2) = \log(6x-1)\] \[\large \Rightarrow 10^{\log(x^2)} = 10^{\log(6x-1)}\] \[\large \Rightarrow x^2 = 6x-1\]Потому что мы знаем, что \(10^{\log a} = a\), который является одним из основных правил журнала.
Так что теперь, когда мы устранили логарифмы, мы можем решить уравнение, которое осталось:
\[\large x^2 = 6x-1\] \[\large \Rightarrow x^2 - 6x + 1 = 0\] \[\large \Rightarrow x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4(1)(1)}}{2(1)}\] \[\large \Rightarrow x = \frac{6 \pm \sqrt{36-4}}{2}\] \[\large \Rightarrow x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2}\] \[\large \Rightarrow x = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2}\] \[\large \Rightarrow x = 3 \pm 2\sqrt 2\]Итак, __xxyz_a__ и \(x_2 = 3 - 2\sqrt 2\).Технически необходимо проверить, являются ли эти два решения исходного уравнения, поэтому чтобы убедиться, что они принадлежат к области логарифмических выражений.
В этом случае как \(x_1 = 3 + 2\sqrt 2\) и \(x_2 = 3 - 2\sqrt 2\) являются решениями исходного уравнения.
Пример 2:
Решить следующую логарифмическое уравнение:
\[\large \ln 5 - \ln(6-x) = \ln x\]ОТВЕЧАТЬ:
Использование правил журнала мы можем компактные выражения журнала, мы получаем это
\[\large \ln 5 - \ln(6-x) = \ln x\] \[\large \displaystyle \Rightarrow \ln\left(\frac{5}{6-x}\right) = \ln x\] \[\large \displaystyle \Rightarrow e^{\ln\left(\frac{5}{6-x}\right)} = e^{\ln x}\] \[\large \displaystyle \Rightarrow \frac{5}{6-x} = x\]Потому что мы знаем, что \(e^{\ln a} = a\), который является одним из основных правил журнала.
Поэтому, теперь, когда мы устранили логарифмы, мы можем решить уравнение, которое мы оставили:
\[\large \displaystyle \frac{5}{6-x} = x\] \[\large \displaystyle \Rightarrow 5 = x(6-x)\] \[\large \displaystyle \Rightarrow 5 = 6x - x^2\] \[\large \displaystyle \Rightarrow x^2 -6x + 5 = 0\] \[\large \displaystyle \Rightarrow (x-1)(x-5) = 0\]Итак, __xxyz_a__ и \(x_2 = 5\).Давайте подключим эти значения в исходное уравнение, чтобы увидеть, на самом деле это решения:
Для \(x_1 = 1\):
что такое же, как:
\[\large \ln 5 - \ln(5) = 0\]что верно, поэтому уравнение владеет.
Для \(x_1 = 5\):
что такое же, как:
\[\large \ln 5 - \ln(1) = \ln(5)\]что верно, поэтому уравнение владеет.
Следовательно, решения уравнения \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 5\).
Подробнее о решении логарифмических уравнений
Одна вещь, о которой учащиеся самые обеспокоены тем, как вы избавитесь от войти в уравнение.Но мы видели, что это на самом деле легкая часть.То, что сложнее, на самом деле алгебраически работают выражение, так что журналы могут быть удалены.
Это поднимает вопрос о том, как бороться с разными базами, которые требуют свой собственный абзац.
Решение логарифмических уравнений с разными базами
В приведенных выше примерах мы имели дело только с __xxyz_a__ (logarithm с базой 10) и \(\ln\) (logarithm с базой \(e\)).Как вы делаете это, когда у вас есть логарифм с другой базой, например \(\log_a\) ???
Ответ прост: для устранения логарифмов с другой базой, скажем, \(\log_a\), которая имеет базу \(a\), мы просто используем экспоненциальную функцию \(a^x\).Простое право ??
Действительно, устранение логарифма - это легкая часть уравнений решавления журнала.Чем усердная часть процесса состоит в том, чтобы сгруппировать и компактные логарифмические выражения в форме, которую вы их устраняете.
Вы можете узнать больше о том, как работает логарифмическая функция, увидев Своства Его Графика и изучение Основные Правила Журнала Отказ