Т-тест для парных выборок

Подробнее о t-тест для двух зависимых выборок чтобы вы могли лучше понять результаты, выдаваемые решателем.

Как рассчитать парный t-тест?

T-тест для двух парных выборок - это проверка гипотезы, которая пытается сделать утверждение о средних значениях популяций (\(\mu_1\) и \(\mu_2\)). Более конкретно, t-тест использует информацию о выборке, чтобы оценить, насколько вероятно, что разница \(\mu_1\) - \(\mu_2\) равна нулю.

Тест имеет две непересекающиеся гипотезы - нулевую и альтернативную. Нулевая гипотеза - это утверждение о параметре популяции, которое указывает на отсутствие эффекта, а альтернативная гипотеза - это дополнительная гипотеза к нулевой гипотезе. Суть теста заключается в оценке наличия или отсутствия статистической значимости. Основными свойствами t-теста для двух парных выборок являются:

• Тест требует двух зависимых выборок, которые на самом деле являются парными или совпадающими, или же мы имеем дело с повторными измерениями (измерения, взятые у одних и тех же субъектов)


• Как и при проверке всех гипотез, в зависимости от наших знаний о ситуации "нет эффекта", t-тест может быть двуххвостым, левохвостым или правохвостым


• Основной принцип проверки гипотез заключается в том, что нулевая гипотеза отвергается, если полученная тестовая статистика достаточно маловероятна при предположении, что нулевая гипотеза верна


• P-значение - это вероятность получения результатов выборки, таких же экстремальных или более экстремальных, чем полученные результаты выборки, при предположении, что нулевая гипотеза верна


• При проверке гипотез существует два типа ошибок. Ошибка типа I возникает, когда мы отвергаем истинную нулевую гипотезу, а ошибка типа II возникает, когда мы не можем отвергнуть ложную нулевую гипотезу

Как вручную рассчитать парный t-тест? какую формулу вы используете?

Формула для t-статистики для двух зависимых выборок такова:

\[t = \frac{\bar D}{s_D/\sqrt{n}}\]

где \(\bar D = \bar X_1 - \bar X_2\) - средняя разница, а \(s_D\) - выборочное стандартное отклонение разницы \(\bar D = X_1^i - X_2^i\), для \(i=1, 2, ... , n\).

Как использовать формулу парного t-теста

• Шаг 1: Во-первых, необходимо определить нулевую и альтернативную гипотезы. Можно выбрать двуххвостую, левохвостую или правохвостую.
• Шаг 2: Затем необходимо указать уровень значимости. Обычно выбирают α = 0,05. Это допуск, который вы принимаете для ошибки первого типа
• Шаг 3: Исходя из выбранного уровня значимости и типа хвоста, вы находите критическую t-статистику либо по таблице t-распределения, либо с помощью калькулятора или Excel. Затем четко сформулируйте свою область отклонения
• Шаг 4: Вы рассчитываете t-статистику по формуле, указанной выше t = Dbar/(sd/√n)
• Шаг 5: На основании рассчитанной t-статистики и того, попадает ли она в область отклонения или нет, вы определяете, отвергаете ли вы нулевую гипотезу или нет
• Шаг 6: Используйте вывод t-теста, чтобы дать интерпретацию в контексте постановки конкретной проблемы.

Пример парного t-теста

Вопрос : Предположим, что у вас есть следующая выборка парных данных.

	Sample 1	Sample 2	Difference = Sample 1 - Sample 2
	4	2	2
	5	3	2
	6	4	2
	5	5	0
	4	6	-2
	3	4	-1
	5	3	2
Average	4.571	3.857	0.714
St. Dev.	0.976	1.345	1.704
n	7	7	7

Можно ли отвергнуть нулевую гипотезу о том, что разность средних по популяции равна нулю, при уровне значимости .05.

Решение:

Из выборочных данных следует, что соответствующие выборочные средние составляют:

\[\bar X_1 = 4.571\]\[\bar X_2 = 3.857\]

Кроме того, стандартные отклонения, представленные в выборке, составляют:

\[ s_1 = 0.976 \]\[ s_2 = 1.345 \]

и размер выборки составляет n = 7. Для разницы в баллах мы имеем

\[ \bar D = 0.714 \]\[ s_D = 1.704 \]

(1) Нулевая и альтернативная гипотезы

Необходимо проверить следующие нулевые и альтернативные гипотезы:

\[ \begin{array}{ccl} H_0: \mu_D & = & 0 \\\\ \\\\ H_a: \mu_D & \ne & 0 \end{array}\]

Это соответствует двуххвостовому тесту, для которого следует использовать t-тест для двух парных выборок.

(2) Область Отторжения

Исходя из предоставленной информации, уровень значимости составляет \(\alpha = 0.05\), а критическое значение для двуххвостового теста - \(t_c = 2.447\).

Область отклонения для этого двуххвостового теста составляет \(R = \{t: |t| > 2.447\}\)

(3) Статистика Тестов

T-статистика вычисляется следующим образом:

\[ \begin{array}{ccl} t & = & \displaystyle \frac{\bar D}{s_D/ \sqrt n} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{0.714}{1.704/ \sqrt{7}} \\\\ \\\\ & = & 1.109 \end{array}\]

(4) Решение о нулевой гипотезе

Поскольку наблюдается, что \(|t| = 1.109 \le t_c = 2.447\), то делается вывод, что нулевая гипотеза не отвергается.

Используя подход P-value: P-значение равно \(p = 0.31\), и поскольку \(p = 0.31 \ge 0.05\), делается вывод, что нулевая гипотеза не отвергается.

(5) Вывод

Делается вывод, что нулевая гипотеза Ho не отвергается. Поэтому нет достаточных доказательств, чтобы утверждать, что средняя популяционная разница \(\mu_D = \mu_1 - \mu_2\) отличается от 0 на уровне значимости \(\alpha = 0.05\).

Доверительный Интервал

95% доверительный интервал составляет \(-0.862 < \mu_D < 2.291\).

Что является непараметрической альтернативой парного t-теста?

Это параметрический тест, который следует использовать только в том случае, если выполняется предположение о нормальности. Если он не работает, вместо него следует использовать следующий Подписанный ранговый тест Вилкоксона . Этот калькулятор парного t-теста работает со средним и стандартным отклонением пар.

Другие приложения t-теста

Часто бывает так, что два образца не являются парными, и в этом случае вы можете использовать t-тест для двух независимых выборок калькулятор . Обратите внимание, что в этом случае образцы не обязательно должны иметь одинаковый размер.