इस कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स कैलकुलेटर के बारे में अधिक।

कॉफ़ैक्टर्स कसकर एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के साथ जुड़े हुए हैं, और वे पत्थर के पत्थर को आगे बढ़ा रहे हैं तंग अभ्यस्त अक्रौता त्योरक्यम (जब यह मौजूद है)।

संभवतः बिना जाने बिना, आपने कंप्यूटिंग करते समय कोफ़ैक्टर्स से निपटा है अराधुह 3x3 या बड़ा।इसलिए, जैसा कि आपको संदेह है, एक पंक्ति और एक कॉलम को हटाते समय प्राप्त करने वालों के साथ कॉफ़ैक्टर्स का क्या करना है।

आप एक मैट्रिक्स के कोफ़ेक्टर को कैसे पाते हैं?

पहली बात यह है कि नाबालिग मैट्रिक्स की गणना करें।तो, किसी दिए गए n x n मैट्रिक्स \(A\) के लिए, I-th पंक्ति में i-th पंक्ति और J-th कॉलम में तत्व i-th पंक्ति और j को हटाकर गठित उप-मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर हैदिए गए मैट्रिक्स का स्तंभ \(A\)।

इसलिए, अगर हम I-th पंक्ति और J-th कॉलम को हटाकर \(A\)> को हटाकर प्राप्त किए गए उप-मैट्रिक्स को \(A[i,j]\) कहते हैं, तो औपचारिक रूप से हम नाबालिगों के मैट्रिक्स को परिभाषित करते हैं, << XYZC>:

\[ M_{ij} = \det A[i,j]\]

ध्यान दें कि अगर \(A\) एक n x n मैट्रिक्स है, तो \(M\) n x n है।

तो, एक cofactor मैट्रिक्स क्या है?

वहाँ लगभग।तो नाबालिग मैट्रिक्स है जिसमें एक पंक्ति और एक कॉलम को हटाकर प्राप्त किए गए संबंधित उप-मैट्रिक के इन सभी निर्धारक शामिल हैं।कोफ़ेक्टर लगभग वह है, सिवाय इसके कि आप I और J के आधार पर एक संकेत (सकारात्मक या नकारात्मक) जोड़ते हैं।

दरअसल, कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स, \(C\) के रूप में परिभाषित किया गया है:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[i,j]\]

जब आप निर्धारकों की गणना करते हैं, तो यह बहुत अच्छा लगता है कि आप क्या उपयोग करते हैं, हुह?तो, कोफ़ेक्टर मैट्रिक्स की गणना करने के लिए, आपको आवश्यकता है सराफक ।

स्टेप्स के साथ इस कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

इस कॉफ़ेक्टर कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, आपको केवल मैट्रिक्स \(A\) प्रदान करने की आवश्यकता है।कैलकुलेटर आपको नाबालिगों और संकेतों की गणना करने की प्रक्रिया के माध्यम से मार्गदर्शन करेगा।

कोफ़ेक्टर मैट्रिक्स गणना का उदाहरण

प्रश्न: मान लें कि आपके पास निम्नलिखित मैट्रिक्स है

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

तमाम: हमें \(3 \times 3\) मैट्रिक्स के कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स की गणना करने की आवश्यकता है जो प्रदान किया गया है।

पहले हम नाबालिग मैट्रिक्स की गणना करते हैं।हमारे पास, परिभाषा के अनुसार, नाबालिगों मैट्रिक्स \(M\) सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

जहां इस मामले में \( A^{i,j}\) मैट्रिक्स \(A\) पंक्ति को हटाने के बाद \(i\) और कॉलम \(j\) है।

इसलिए, और मैट्रिक्स के आधार पर \(A\) बशर्ते हम माइनर्स मैट्रिक्स के निम्नलिखित गुणांक प्राप्त करें:

के लिए \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 5\]

के लिए \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

के लिए \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

के लिए \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

के लिए \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

के लिए \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

के लिए \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 3 \cdot \left(1 \right) = -1\]

के लिए \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = -1\]

के लिए \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -1\]

संक्षेप में, नाबालिग मैट्रिक्स है:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

अब, हम कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स के तत्वों की गणना कर सकते हैं \(C\) सूत्र का उपयोग करके

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

उपरोक्त सूत्र का सीधे उपयोग किया जा सकता है क्योंकि नाबालिगों को पहले से ही जाना जाता है।हम पाते हैं

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 5 = (-1)^{ 2} \cdot 5 = 5\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = -1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 6} \left(-1\right) = 1\]

संक्षेप में, cofactor मैट्रिक्स है:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle -3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

जो गणना का समापन करता है।