نظام المعادلات
نظام المعادلات هو ببساطة مجموعة من المعادلات المتزامنة أو أكثر من الحاجة إلى حلها.عادة, سيكون لديك نفس العدد من المعادلات وغير المعروفة (المتغيرات), لكن لا يجب أن يكون الأمر كذلك.
الشيء الوحيد الواضح هو أنه من أجل الحصول على نظام من المعادلات تحتاج إلى الحصول على اثنين أو أكثر من المعادلات المتزامنة.على سبيل المثال, النظام أدناه
\[\large 3x + 2y = 3\] \[\large 5x - 2y = 4\]هو نظام المعادلات, مع معادتين واثنين غير معروفين (\(x\) و \(y\)).أو على سبيل المثال, النظام أدناه:
\[\large 3x + 2y + z^2 = 3\] \[\large 5x - 2y + z = 4\]هو نظام المعادلات, مع معادلتين وثلاثة مجهولة (__ xyz_a_, __ xyz_b__ و \(z\)).
المثال الأول هو مثال لنظام المعادلات الخطية.
المثال الثاني هو مثال لنظام المعادلات غير الخطية.لماذا ا؟لقد خمنت ذلك: المصطلح \(z^2\) في المعادلة الأولى يجعله غير خطي.
من الناحية العامة, تعتمد الإستراتيجية المستخدمة لحل نظام المعادلات على ما إذا كان خطيا أم لا.لأنظمة المعادلات الخطية, هناك طرق منهجية لحلها, مثل حكم كرمر وبعدبالنسبة لأنظمة المعادلات غير الخطية, لا توجد استراتيجية ثابتة ونحن بحاجة إلى الذهاب إلى حالة القضية.
عدد حلول نظام المعادلات
كم عدد الحلول التي يقوم بها نظام المعادلات, إن وجدت؟يمكن تقديم إجابة عامة على هذا السؤال إلا مع حالة أنظمة المعادلات الخطية, بناء على العلاقة بين عدد المعادلات وعدد مجهولين.
عادة, في نظام المعادلات الخطية حيث يكون عدد المعادلات هو نفسه أو أكبر من عدد المجهولين, قد يكون هناك حل فريد أو حل أو حلول لا حصر لها.
عندما يكون عدد المعادلات أقل من عدد المجهولين, فقد يكون هناك عدد لا حصر له من الحلول, أو عدم وجود حل على الإطلاق, ولكن لا يمكن أن يكون هناك حل فريد.
كيف تجد نظام المعادلات؟
يرتبط هذا السؤال برتبة كيف تعود إلى نظام المعادلات.هناك العديد من السياقات.على سبيل المثال, قد تتعامل مع مشكلة كلمة, والتي تقوم فيها بإنتاج ثلاثة أنواع مختلفة من الأطعمة, ولديك عدة أنواع من القيود المفروضة على تلك الأطعمة من حيث التكلفة والسعرات الحرارية, وما إلى ذلك. يمكن أن تكون كل من هذه القيودممثلة كمعادلة.
هناك عدد لا يحصى من التطبيقات التي تؤدي فيها القيود المختلفة إلى معادلات خطية تحتاج إلى حلها في وقت واحد, وتحويل المشكلة إلى نظام المعادلات.
مثال 1
نظام المعادلات مثال: إنه النظام التالي للمعادلات الخطية أو غير الخطية؟
\[\large x - 2y + z = 1\] \[\large 5x - 2y + z = 4\] \[\large 3x + 2y + \sin(z) = 3\]إجابه:
بادئ ذي بدء, ما سبق هو نظام المعادلات, مع ثلاث معادلات وثلاثة مجهولة (\(x\), \(y\) و \(z\)).أول المعادلات هي خطية سما إذا كانت المعادلة الأخيرة غير خطية, بسبب مصطلح \(\sin(z)\).من أجل الحصول على معادلة خطية, نحتاج إلى مضاعفة مجهولين فقط بسبب ثابت.
لذلك, فإن النظام أعلاه للمعادلات ليست خطية, حتى لو كانت المعادلات الأولى خطية, والثالث ليس كذلك.بالنسبة للنظام, يكفي أن يكون لديك معادلة واحدة لا تكون خطية للنظام بأكمله لتكون غير خطية.
مثال 2
افترض أن منتج المنتج ثلاثة أنواع من القمصان في المبالغ التالية: \(x\), \(y\) و \(z\).يحتوي النوع 1 على تكلفة 1 دولار, اكتب 2 تكلفة 1.2 دولار ونوع 3 تكلفة 1.5 دولار.أيضا, يستغرق الأمر ساعة واحدة لإنتاج النوع 1, 0.5 ساعة لإنتاج نوع 2 و 0.8 ساعة إلى نوع المنتج 3.
أعلم أن لدي 800 دولار لقضاء, و 500 ساعة متاحة.أيضا, بناء على تقديرات الطلب الخاصة بي, أود إنتاج إجمالي القمصان من النوع 1 التي هي المعادلة إجمالي النوع 2 والنوع 3.
اكتب نظام من المعادلات بناء على هذه القيود.هل هذا النظام خطي؟
إجابه:
لاحظ أن هناك ثلاثة مجهادين (\(x\), \(y\) و \(z\)), والذي يتوافق مع عدد القمصان لكل نوع يحتاج إلى إنتاجه.أيضا, لدينا ثلاث معادلات: واحدة للتكلفة, واحدة لعدد ساعات المتاحة, وواحدة لتقييد عدد القمصان 1 من النوع 1 والأنواع الأخرى.
المعادلات التالية تمثل الوضع:
\[\large x + 1.2y + 1.5z = 800\] \[\large x + 0.5y + 0.8z = 500\] \[\large x = y + z\]باستخدام اتفاقية ترك جميع المصطلحات التي تعتمد على المجهولين على الجانب الأيسر, نعيد كتابة المعادلة الأخيرة للحصول على:
\[\large x + 1.2y + 1.5z = 800\] \[\large x + 0.5y + 0.8z = 500\] \[\large x - y - z = 0\]لاحظ أن كل معادلة خطية, لذلك فإن النظام هو نظام المعادلات الخطية.
كيف يمكنك حل أنظمة المساواة بشكل عام؟
كما ذكر أعلاه, لا توجد استراتيجية واحدة تناسب جميع الحالات.فقط في حالة أنظمة المعادلة الخطية ستكون هناك استراتيجية واضحة ومحددة جيدا.
ومع ذلك, هناك بعض الممارسات الجيدة أو الخطوات التي يجب عليك اتباعها يمكن أن تساعدك في حل جميع أنواع أنظمة المعادلات:
الخطوة 1:
تحديد كل معادلة في النظام
الخطوة 2:
انتقل إلى جانب واحد من المعادلة جميع المصطلحات التي تعتمد على المجهول (عادة إلى الجانب الأيسر), والثوابت على الجانب الآخر
الخطوه 3:
تبسيط كل من الجانب الأيسر (مع المجهول) والجانب الأيمن (مع الثوابت)
الخطوة 4:
تحديد هيكل المعادلات.هي المعادلات الخطية أو غير الخطية؟
الخطوة 5:
إذا كانت جميع المعادلات خطية, فاستخدم إحدى الطرق المنهجية لحل الأنظمة الخطية (قاعدة Cramer, استبدال, إلغاء, تخفيض غاوس, إلخ)
الخطوة 6:
إذا كانت معادلة واحدة على الأقل غير خطية, فيمكنك محاولة استخدام نهج الاستبدال, بدءا من أبسط المعادلة.
المزيد عن أنظمة المعادلات
تظهر نظام المعادلات في كل مكان في الرياضيات, في جميع المواد.أن تكون قادرا على حل أنظمة المعادلات بشكل منهجي ستكون مهارة حاسمة لإتقانها.
النظام الأكثر نموذجية ستجد هو نظام لمعادلات خطية.وفي كثير من الأحيان, ستجد أنظمة معادلات خطية, مع معادلتين ومجهولين.عادة ما تتصل هذه الأنظمة بنظام 2X2 من المعادلات الخطية.
نظام المعادلات الرسوم البيانية
بالنسبة لنظام 2 × 2 من المعادلات الخطية, لدينا الاستفادة من القدرة على استخدام تمثيل رسومي في المحاور المنسقة.يمثل المعادلة الخطية بخط في الطائرة X-Y.وبصورة بيانية, فإن حل نظام 2x2 هو النقطة التي تتقاطع فيها الخطان, إن وجدت.
بعد ذلك, في هذه الحالة, لدينا ذلك إما: الخطوط متوازية ولا تلمس بعضها البعض (لا توجد حلول), تتقاطع الخطوط في نقطة واحدة (حل فريد), أو أن الخطوط متوازية ولمس بعضها البعض (العديد من الحلول بلا حدودفي
نظام حاسبة المعادلات
استخدم هذا الحلول إذا كنت تريد حلم نظام 2x2 من المعادلات الخطية وبعدتستخدم هذه الحاسبة قاعدة Cramer لحل أنظمة 2 × 2.لأنظمة أكبر من المعادلات, أفضل بديل هو استخدام طريق القضاء غاوي. التي تتناول بشكل منهجي أنظمة خطية من أي حجم.