المزيد عن السلسلة الهندسية اللانهائية

فكرة لانهائي يمكن أن تكون السلسلة محيرة في البداية. لا يجب أن يكون الأمر معقدًا عندما نفهم ما نعنيه بالسلسلة.

السلسلة اللانهائية ليست سوى مبلغ لانهائي. بعبارة أخرى , لدينا مجموعة لا نهائية من الأرقام , لنقل \(a_1, a_2, ..., a_n, ....\) , وسنضيف هذه المصطلحات , مثل:

\[a_1 + a_2 + ... + a_n + ....\]

ولكن نظرًا لأنه قد يكون من الممل أن تضطر إلى كتابة التعبير أعلاه لتوضيح أننا نجمع عددًا لا حصر له من المصطلحات , فإننا نستخدم التدوين , كما هو الحال دائمًا في الرياضيات. يتم كتابة سلسلة لانهائية على النحو التالي:

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

وهي طريقة أكثر إحكاما ولا لبس فيها للتعبير عما نعنيه. ولكن حتى الآن , فكرة الجمع اللانهائي مربكة نوعًا ما. ماذا نعني بالمبلغ اللامتناهي؟

هذا سؤال جيد: فكرة جمع عدد لانهائي من المصطلحات تتكون من إضافة ما يصل إلى مصطلح معين \(N\) ثم دفع هذه القيمة \(N\) إلى ما لا نهاية. لذلك على وجه التحديد , يتم تعريف السلسلة اللانهائية على أنها

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \]

إذن , ما سبق هو التعريف الرسمي لمجموع سلسلة لا نهائية.

ما هو خاص في المتسلسلة الهندسية

بشكل عام , لتحديد سلسلة لا نهائية , تحتاج إلى تحديد عدد لا نهائي من المصطلحات. في حالة المتسلسلة الهندسية , ما عليك سوى تحديد المصطلح الأول \(a\) والنسبة الثابتة \(r\).

المصطلح العام n من السلسلة الهندسية هو \(a_n = a r^{n-1}\) , لذلك تصبح السلسلة الهندسية

\[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \]

نتيجة مهمة هي أن السلسلة أعلاه تتقارب إذا وفقط إذا \(|r| < 1\). في هذه الحالة , تكون صيغة المتسلسلة الهندسية للمجموع

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}\]

أمثلة

كمثال , يمكننا حساب مجموع المتسلسلة الهندسية \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ....\). في هذه الحالة , المصطلح الأول هو \(a = 1\) , والنسبة الثابتة هي \(r = \frac{1}{2}\). إذن , يتم حساب المبلغ مباشرة على النحو التالي:

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-1/2} = \frac{1}{1/2} = 2\]

ما يحدث مع المسلسل هو \(|r| > 1\)

إجابة مختصرة: السلسلة تتباعد. تصبح المصطلحات كبيرة جدًا , كما هو الحال مع النمو الهندسي , إذا \(|r| > 1\) ستصبح المصطلحات في التسلسل كبيرة للغاية وستتقارب إلى ما لا نهاية.

ماذا لو لم يكن المبلغ لانهائي

في هذه الحالة , تحتاج إلى استخدام هذا تسلسل هندسي مجموع حاسبة , حيث تضيف عددًا محدودًا من المصطلحات.