تباين العينة

يُعد تباين العينة \(s^2\) من أكثر طرق قياس التشتت شيوعًا في التوزيع. عند إعطاء عينة بيانات \(X_1, X_2, ...., X_n\), يقيس تباين العينة تشتت قيم العينة بالنسبة لمتوسطها.

كيف تحسب تباين العينة؟

وبشكل أكثر تحديدًا, يتم حساب تباين العينة كما هو موضح في الصيغة أدناه:

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \]

الصيغة أعلاه لها مجموع المربعات \( \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \) في الأعلى وعدد درجات الحرية \(n-1\) في الأسفل.

الطريقة التي تستخدم بها الصيغة أعلاه بسيطة:

• لقد قمت بإعداد جدول, مع عمود واحد للبيانات المحددة \(X_i\)
• تحسب متوسط العينة \(\bar X\)
• ضع متوسط العينة في عمود بجوار بيانات \(X_i\) (ضع متوسط العينة بجوار كل مصطلح من مصطلحات العينة)
• قم بإنشاء عمود حيث يمكنك حساب طرح بيانات العينة ومتوسط العينة: \(X_i - \bar X\)
• قم بإنشاء عمود حيث تحسب مربع العمود السابق: (\(X_i - \bar X\))^2
• أضف قيم العمود الأخير
• قسّم النتيجة التي وجدتها على \(n-1\).

كيف تحسب تباين العينة باستخدام excel؟

لاحظ أنك بحاجة إلى حساب متوسط العينة \(\bar X\) أولًا لاستخدام الصيغة أعلاه. يمكنك حساب التباين باستخدام Excel باستخدام =VAR() دالة, لكن ميزتها أنها حاسبة تباين بخطوات. لاحظ أيضًا أنه بأخذ الجذر التربيعي للتباين, نحصل على الانحراف المعياري للعينة.

نموذج أكثر عملية

يشتكي الناس من أن حساب التباين يتطلب حساب متوسط العينة أولًا, ثم حساب الانحرافات, وما إلى ذلك. ولكن, هل هناك طريقة لحساب تباين العينة مباشرةً دون حساب متوسط العينة؟

بالتأكيد هناك. في كثير من الأحيان يعتقد الناس أنهم بحاجة إلى استخدام صيغة المتوسط والتباين إلزامي, ولكن هذا ليس هو الحال. يمكنك الاطلاع أدناه على طريقة حساب تباين العينة مباشرةً, دون حساب متوسط العينة

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)^2 \right) \]

أسباب أهمية تباين العينة

• بالنسبة لأحجام العينات الكبيرة, فإن تباين العينة يعد مقدرًا جيدًا لتباين المجتمع

آلات حاسبة إحصائية وصفية قد تحتاجها

إذا كنت تريد بدلاً من ذلك الحصول على حساب خطوة بخطوة لجميع الإحصائيات الوصفية, فيمكنك تجربة حاسبة الإحصاء الوصفي , والذي سيوفر لك جميع الإحصاءات الوصفية الأكثر شيوعًا, مع مقاييس الاتجاه المركزي والتشتت التي توضح جميع خطوات الحساب.

بالإضافة إلى ذلك, إذا كنت مهتمًا بالتشتت النسبي, على عكس التشتت المطلق, فيمكنك استخدام حاسبة معامل التباين , والذي يخبرك بمدى حجم التشتت نسبة إلى المتوسط لماذا تحتاج هذا؟ لأن الانحراف المعياري يُمثل ما يُعتبر تشتتًا مطلقًا. لكن حجم التشتت لن يكون ذا أهمية إلا من حيث حجمه بالنسبة للمتوسط.

مثال للتطبيق

سؤال :بالنسبة لبيانات العينة المعطاة: 3, 4, 2, 3, 1, 4, 4, 4, 7, 8, 9, 12, 2, 3, 13, 18, احسب تباين العينة.

حل:

نحتاج إلى حساب تباين العينة. هذه هي بيانات العينة المُقدّمة:

\(X\)
3
4
2
3
1
4
4
4
7
8
9
12
2
3
13
18

الآن, نحتاج إلى تربيع جميع قيم العينة كما هو موضح في الجدول أدناه:

ملاحظة:	\(X\)	\(X^2\)
1	3	9
2	4	16
3	2	4
4	3	9
5	1	1
6	4	16
7	4	16
8	4	16
9	7	49
10	8	64
11	9	81
12	12	144
13	2	4
14	3	9
15	13	169
16	18	324
Sum =	\(97\)	\(931\)

لذلك, يتم حساب تباين العينة كما هو موضح أدناه:

\[ \begin{array}{ccl} s^2 & = & \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{16 - 1} \left( 931 - \frac{97^2}{16} \right) \\\\ \\\\ & = & 22.8625 \end{array}\]

لذلك, استنادًا إلى البيانات المقدمة, فإن تباين العينة هو \(s^2 = 22.8625 \).