كيف تجد معكوس دالة
تعتمد العديد من التطبيقات في الجبر وحساب التفاضل والتكامل على معرفة كيفية إيجاد معكوس الدالة , وهذا هو موضوع هذا البرنامج التعليمي.
بادئ ذي بدء , عليك أن تدرك أنه قبل إيجاد معكوس الدالة , عليك التأكد من وجود هذا المعكوس.
الشيء الجيد في طريقة إيجاد المعكوس الذي سنستخدمه هو أننا سنجد المعكوس ونكتشف ما إذا كان موجودًا أم لا في نفس الوقت.
مستعد؟؟ اربط حزام الأمان بعد ذلك.
كيف يمكنك معرفة ما إذا كانت الوظيفة لها معكوس؟
من الناحية الفنية , يكون للدالة معكوس عندما تكون واحد لواحد (عن طريق الحقن) وسدية.
ومع ذلك , فإن الشرط الأساسي هو أنه يجب أن يكون واحدًا لواحد , لأنه يمكن جعل الوظيفة تخمينية من خلال تقييد نطاقها على صورتها الخاصة.
كيف تعرف أن الوظيفة هي واحد لواحد؟
حسنًا , هناك طريقتان على الأقل. أحدهما هو الطريقة الجبرية , والطريقة الأخرى هي الطريقة الرسومية (أراهن أنني أعرف أيهما تفضل , أليس كذلك؟)
الطريقة الجبرية
بالنسبة للطريقة الجبرية , لكي تكون الوظيفة \(f\) واحدة لواحد , نحتاج إلى إثبات أنه في كل مرة يتم فيها \(f(x) = f(y)\) , نحتاج إلى \(x = y\).
بعبارة أخرى , نحن بحاجة إلى إثبات ذلك
\[f(x) = f(y) \,\,\Rightarrow \,\, x = y\]
طريقة رسومية
بالنسبة للطريقة الرسومية , نحتاج إلى استخدام اختبار الخط الأفقي : لأي خط أفقي نرسمه , يتقاطع الرسم البياني للدالة مرة واحدة مع هذا الخط الأفقي.
بيانيا:
اجتاز اختبار الخط الأفقي
لا يجتاز اختبار الخط الأفقي
إيجاد المعكوس
يتطلب إيجاد معكوس دالة معينة \(f(x)\) حل معادلة.
في الواقع , لديك المعادلة \(f(x) = y\) , تأخذ \(y\) كرقم معين , وتحتاج إلى حلها لـ \(x\) , وتحتاج إلى التأكد من أن الحل فريد.
هذا كل شيء. الحق سهلة؟؟
الآن , في الخطوات العملية:
الخطوة 1:
للحصول على \(y\) معين , قم بتعيين المعادلة:
وحلها لـ \(x\).
الخطوة 2:
تأكد من الانتباه لمعرفة أي \(y\) , يوجد بالفعل حل فريد من نوعه.
الخطوه 3:
بمجرد حل \(x\) من حيث \(y\) , فإن هذا التعبير الذي يعتمد على \(y\) سيكون \(f^{-1}(y)\) الخاص بك.
الخطوة الرابعة:
قم بتغيير اسم المتغير من \(y\) إلى \(x\) وستحصل على الوظيفة العكسية \(f^{-1}(x)\).
مثال 1
أوجد معكوس الدالة \(f(x) = \sqrt x\)
إجابه:
لذلك , نأخذ \(y\) على النحو المعطى ونحتاج إلى حل \(f(x) = y\) , وهو في هذه الحالة يتوافق مع الحل
\[\sqrt x = y\]لاحظ أن الجذر التربيعي دائمًا غير سالب , لذا من أجل الحصول على حل , نحتاج إلى \(y\ge 0\).
بتطبيق المربع على كلا الجانبين نحصل على ذلك
\[\Rightarrow \,\, (\sqrt x)^2 = y^2\] \[\Rightarrow \,\, x = y^2\]إذن , \(f^{-1}(y) = y^2\) , وتبديل اسم المتغير , لدينا وظيفة معكوسة هي
\[f^{-1}(x) = x^2\]لـ \(x\ge 0\).
مثال 2
أوجد معكوس الدالة \(f(x) = \displaystyle \frac{x}{x+1}\) من أجل \(x > -1\)
إجابه:
مرة أخرى , نأخذ \(y\) على النحو الوارد , والآن نحتاج إلى حل \(x\) المعادلة \(f(x) = y\). اذا لدينا
\[\displaystyle \frac{x}{x+1} = y\] \[\Rightarrow \,\, x = y(x+1)\] \[\Rightarrow \,\, x = yx + y\] \[\Rightarrow \,\, x - yx = y\] \[\Rightarrow \,\, x(1 - y) = y\] \[\Rightarrow \displaystyle \,\, x = \frac{y}{1-y}\]إذن , \(f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y}{1-y}\) , وتبديل اسم المتغير , لدينا وظيفة معكوسة هي
\[f^{-1}(x) = \displaystyle \frac{x}{1-x}\]المزيد عن إيجاد معكوس الدالة
إحدى الخصائص الحاسمة للدالة العكسية \(f^{-1}(x)\) هي أن \(f(f^{-1}(x)) = x\).
فكر فيما يقوله هذا الشيء. شيء من هذا القبيل: "تمنحك الدالة المقيمة عند المعكوس الهوية".
أو بعبارة أخرى , فإن حساب المعكوس من خلال الدالة يشبه عدم التعامل مع السعة بأي شيء.
أو كما يحب البعض أن يقول: يمكن للدالة أن تلغي معكوسًا بطريقة ما.
اخترت نسختك.
كيف تجد معكوس دالة تربيعية؟ هل تستطيع؟
في الواقع , الجواب: هذا يعتمد. هذا لأننا إذا اعتبرنا دالة تربيعية على الخط الحقيقي كله , إذن فهو ليس 1 إلى 1 , لأنه لا يجتاز اختبار الخط الأفقي , كما ترى في الرسم البياني أدناه:
من خلال عدم اجتياز اختبار الخط الأفقي , يمكننا أن نرى أنه بالنسبة إلى \(y\) يوجد أكثر من قيمة \(x\) بحيث \(f(x) = y\) , لذلك لا يمكننا "حل" لـ \(x\) , نظرًا لوجود أكثر من \(x\).
ولكن , إذا قمت بتقييد المجال , وفكرت في قول الأرقام الموجبة فقط , فسنحصل على ما يلي:
الذي يجتاز اختبار الخط الأفقي , وبالتالي , فإن الوظيفة التربيعية قابلة للعكس.
أخلاق القصة: من أجل التحقق مما إذا كان هناك شيء ما قابل للعكس , لا يتعلق الأمر بالوظيفة فقط. فهو يقع في حوالي الوظيفة و المجال والمدى .
كيفية معرفة الرسم البياني للدوال المعكوسة بسرعة
هناك دائمًا مطلب لتقييم ما إذا كانت الوظيفة \(f(x)\) قابلة للعكس أم لا (عن طريق التحقق مما إذا كانت وظيفة واحد لواحد أم لا). لكن بافتراض أنك تعلم أنه قابل للعكس , فهناك طريقة سهلة لإيجاد التمثيل البياني للمعكوس.
أولاً , قم برسم الدالة المحددة \(f(x)\).
ثم رسم خط 45 درجة \(y = x\).
لرسم \(f^{-1}(x)\) , كل ما عليك فعله هو عكس الرسم البياني \(f(x)\) عبر خط 45 درجة \(y = x\) , مثل الميرو.
انظر المثال أدناه مع الوظائف \(f(x) = \sin x\) و \(f^{-1}(x) = \arcsin x\)
هناك طريقة أخرى لرؤية هذا , وهي استخدام الأصل رسم بياني وقم بتغيير قيمة \(x\) بقيمة \(y\).
هل هناك أي طريقة لدالة تكون معكوسة؟
نعم , هذا ممكن بالفعل , لكنه يحدث فقط لوظيفة الهوية , هذا مع \(f(x) = x\).