الجبر دروس

الرسم البياني لوظيفة

الرسم البياني للدالة عبارة عن مجموعة من الأزواج المرتبة \((x,y)\). أو , الرسم البياني للدالة هو تصور نقوم بعمل مجموعة من الأزواج \((x,y)\) على نظام إحداثيات. أقول إنه تصور مفاهيمي , لأن الطريقة التي نمثل بها الرسم البياني هي إلى حد ما خداع بصري.

لماذا اقول ذلك؟ حسنا , الق نظرة. ما رأيك عندما أقول "رسم بياني". تحقق من الرقم من قبل.

إذن هذا رسم بياني. مجموعة من أزواج \((x, y)\) , أو كما يمكننا تسميتها أيضًا , النقاط. تم تمييز نقطة محددة أدناه , ألق نظرة

الحيلة , أو الوهم البصري , هي أن النقطة , من الناحية النظرية , ليس لها أبعاد (لا عرض ولا طول). إذن هذا "المنحنى" الذي نرسمه لتمثيل الرسم البياني , إنه نوع من الطريقة الملائمة لتمثيل الرسم البياني , لكننا نخدع نوعًا ما , لأن هذا التمثيل له منحنى بسمك.

لذا , هذا لا يعني أن تمطر على موكبك , بل فقط لتوضيح أن ما تفهمه على أنه رسم بياني , هو بالأحرى التمثيل لرسم بياني ملائم وموثوق.

الرسوم البيانية المرتبطة بالوظائف

إحدى الطرق السهلة لتعريف الرسم البياني هي استخدام دالة \(f(x)\). في الواقع , الرسم البياني المحدد بواسطة دالة \(f(x)\) هو مجموعة جميع النقاط \((x, f(x))\) , لـ \(x \in D\) , حيث \(D\) هو مجال الوظيفة \(f\).

التمثيل هو نفسه الرسوم البيانية السابقة , فقط الآن نقوم بما يلي:

في هذه الحالة , يتمثل الاختلاف الأكثر وضوحًا في أن المكون الثاني للزوج \((x,y)\) ليس مجرد أي قيمة \(y\). المكون الثاني هو \(f(x)\) , لذلك يتم تحديده بشكل فريد بواسطة \(x\).

مثال 1

ارسم الرسم البياني للوظيفة \(f(x) = x^2\).

إجابه:

لا شيء غريب , كل ما نحتاجه هو رسم التمثيل البياني للدالة. النقاط في الرسم البياني هي على شكل \((x, f(x)) = (x, x^2)\). هذا , قيمة \(x\) مرتبطة بـ \(x^2\) على الرسم البياني.

أمثلة على النقاط الموجودة على الرسم البياني: \((1, 1)\) , \((2, 2^2) = (2, 4)\) , \((3, 3^2) = (3, 9)\) , إلخ. بيانياً نحصل على التمثيل التالي للرسم البياني:

الرسوم البيانية المستمرة مقابل الرسوم البيانية غير المستمرة

أحد الافتراضات التي نضعها في أذهاننا عندما نفكر في الرسم البياني هو أنه سلس , دون أي قفزات. هذا ليس هو الحال دائما. هناك وظائف تؤدي إلى وظائف تقفز أو تؤدي إلى رسوم بيانية غريبة. وظائف أخرى لها رسوم بيانية سلسة للغاية , كما حدث مع \(f(x) = x^2\).

يتم التعامل مع مفهوم نعومة الوظيفة رسميًا في حساب التفاضل والتكامل , مع مفهوم الوظيفة المستمرة. ولكن بدون الكثير من الغموض , يمكننا القول , في الوقت الحالي , أننا نعتقد أن الوظيفة المستمرة هي وظيفة لها رسم بياني "سلس" , والدالة غير المستمرة هي وظيفة ليست سلسة , أو بها "قفزات" ".

مثال 2

هل الوظيفة \(f(x) = sin(x)\) متصلة؟

إجابه:

حسنًا , مرة أخرى , سنحتاج إلى تحليل استمرارية رسمي للتحقق. ولكن في ضوء التعريف غير الرسمي الوارد أعلاه , دعونا نتحقق من الرسم البياني الخاص به. يعطينا الكمبيوتر ما يلي:

أود أن أقول إن الرسم البياني أعلاه يبدو سلسًا للغاية , دون أي قفزات , لذا باستخدام تعريفنا الساذج , أود أن أقول إن \(f(x) = \sin x\) مستمر.

مثال 3

هل الوظيفة \( f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{cc}-1 &\,\,\,\,\text{for } x\le 1 \\ \\ x & \,\,\,\,\,\,\text{for }x>1 \\ \end{array} \right.\) متصلة؟

إجابه:

للإجابة على السؤال , علينا رسم التمثيل البياني. يعطينا الكمبيوتر ما يلي:

لاحظ أن هناك قفزة عند النقطة \(x = 1\) , لذلك أود أن أقول أن الرسم البياني أعلاه به قفزة , وبالتالي , هذه الوظيفة غير متصلة.

المزيد عن الرسوم البيانية

يمكن أن يؤدي استخدام الرسوم البيانية لعمل تمثيل لوظيفة ما دورًا مهمًا في فهم سلوك الوظيفة.

توجد أدوات تحليلية (حساب التفاضل والتكامل) كافية لفهم سلوك دالة \(f(x)\) , دون الحاجة إلى رسمها. لكن من العملي جدًا رؤية الرسم البياني لأنه طريقة سريعة حقًا للحصول على فكرة عما تقوم به الوظيفة.

لاحظ أنه ليس كل الرسوم البيانية يجب أن تأتي من الوظائف. على سبيل المثال , يمكن أن تأتي الرسوم البيانية أيضًا من العلاقات. انظر إلى الرسم البياني أدناه وأخبرني إذا كان بإمكانك اكتشاف العلاقة المرتبطة به.