كيفية البحث عن المجال
يعد تعلم كيفية العثور على مجال الوظيفة مهارة حاسمة في الجبر , لأنه يمنحك القدرة على تقييم مكان تعريف الوظيفة بشكل صحيح. أو بعبارة أخرى , المنطقة التي تكون صالحة لتشغيل الوظيفة
تعتبر مهمة العثور على المكان الذي يكون فيه تشغيل وظيفة صالحة أمرًا مفيدًا. على سبيل المثال , ضع في اعتبارك الوظيفة \(f(x) = \sqrt x\). نحن نعلم أن الدالة تعمل بقيم مثل \(x \ge 0\). لا يمكننا العمل مع الأرقام السالبة , لأننا سنحصل على شيء مثل \(f(-1) = \sqrt{-1}\) , والذي لم يتم تعريفه جيدًا (على الأقل كرقم حقيقي)
يمكنك التحقق من برنامجنا التعليمي السابق الذي تحدثنا فيه بعمق عن المجال والمدى . سيتم توجيه هذا البرنامج التعليمي نحو الجزء التشغيلي لإيجاد المجال.
لماذا نحتاج إلى العثور على المجال؟
السبب وراء حاجتنا إلى العثور على مجال الوظيفة هو أن كل دالة لها مجموعة محددة من القيم حيث يتم تعريفها. لم يتم تحديد جميع الوظائف في كل مكان في السطر الحقيقي.
المجال المنطقة في الخط الحقيقي حيث توجد صالح للعمل مع الوظيفة \(f(x)\) , من حيث القيم التي يمكن أن تأخذها \(x\).
ما الذي يتعين علينا القيام به للعثور على المجال؟
حقًا , لا توجد خدعة واحدة تناسب جميع الأحجام. كل وظيفة مختلفة ويجب استخدام استراتيجيات مختلفة للعثور على المجال , اعتمادًا على الوظيفة.
هناك طريقتان تحتاج دائمًا إلى مراعاتهما:
تقنية 1
: تأكد من وجود أقسام على الصفر.
علاوة على ذلك , يجب استبعاد تلك النقاط التي تؤدي إلى القسمة على الصفر من المجال.
تقنية 2
: تأكد من وجود جذور تربيعية للأقسام مع وسيطات سلبية (مثل \(\sqrt{-1}\)).
علاوة على ذلك , يجب استبعاد تلك النقاط التي تؤدي إلى الجذر التربيعي لعدد سالب من المجال.
في النهاية , باستخدام هاتين الطريقتين , يجب أن تكون قادرًا على التخلص من النقاط غير الموجودة في المجال. باقي النقاط في الخط الحقيقي هي جزء من المجال , ببساطة.
لذا , فإن هاتين الطريقتين تحلان مشكلة معرفة كيفية إيجاد مجال الدالة جبريًا. هناك طريقة أخرى للقيام بذلك وهي النظر إلى الرسم البياني , إذا كان متاحًا.
مثال 1
أوجد مجال الوظيفة \(f(x) = \sqrt{x+4}+3\)
إجابه:
أول شيء يتعين علينا القيام به , وهناك حيث يكمن نجاحنا في إيجاد المجال , هو تحديد المكان الذي يمكن أن نجد فيه عمليات غير صالحة , مثل القسمة على صفر , أو الجذور التربيعية السالبة.
بالنسبة للدالة \(f(x) = \sqrt{x+4}+3\) , لا توجد أقسام محتملة على الصفر , ولكن يوجد جذر تربيعي. من أجل الحصول على وسيطة صحيحة , يجب أن تكون السعة داخل الجذر التربيعي غير سالبة.
لذلك , لكي يكون \(x\) في مجال الوظيفة , يجب أن يكون لدينا \(x\ge 0\). هذا يعني أن مجال \(f\) هو \(\{x: x\ge 0\}\) , أو \([0, +\infty)\) إذا استخدمنا تدوين الفاصل الزمني.
هل دائما بهذه السهولة ؟؟ ليس حقًا , يمكن أن يصبح الأمر صعبًا كما تحصل , اعتمادًا على مدى تعقيد الوظيفة \(f(x)\).
عادةً ما تكون الأمثلة التي تراها في الاختبارات والواجب المنزلي بسيطة نوعًا ما. دعونا نصل إلى درجة أعلى من حيث الصعوبة.
مثال 2
الآن ابحث عن مجال الوظيفة \(\displaystyle f(x) = \sqrt{\frac{x+4}{x-3}}\)
إجابه:
هذه الوظيفة أكثر تعقيدًا قليلاً وتتطلب معالجة أكثر دقة. في هذه الحالة , علينا القلق بشأن القسمة المحتملة على الجذور التربيعية صفر والسالب.
أولاً , يمكن أن يكون هناك قسمة محتملة على صفر , عند \(x = 3\) , مما يشير إلى أنه يجب استبعاد \(x = 3\) من المجال.
الآن , علينا الاهتمام بجذر تربيعي سالب محتمل. نحتاج إلى تقييم علامة \(\displaystyle \frac{x+4}{x-3}\). علاوة على ذلك , نحتاج إلى أن تكون غير سلبية , لذلك نحتاج إلى حل:
\[\displaystyle \frac{x+4}{x-3} \ge 0\]لكي تكون القسمة غير سالبة , نحتاج إلى أن يكون كل من البسط والمقام موجبين , أو أن يكون كل من البسط والمقام سالبين.
بمعنى آخر , نحتاج إلى كل من \(x+4 \ge 0\) و \(x-3 > 0\) , أو كليهما \(x+4 \le 0\) و \(x-3 < 0\).
هذا هو نفسه \(x \ge -4\) و \(x > 3\) , أو كلاهما \(x \le -4\) و \(x < 3\).
ويمكن كتابة هذا كـ \(x > 3\) , أو كلاهما \(x \le -4\) , وهو ما يتوافق مع الفاصل الزمني \( (-\infty, -4] \cup (3, +\infty)\).
الاستنتاج هو أن مجال الوظيفة \(\displaystyle f(x) = \sqrt{\frac{x+4}{x-3}}\) هو:
\[ dom(f) = (-\infty, -4] \cup (3, +\infty)\]كما ترى , زاد مستوى الصعوبة قليلاً , ويمكنك في الواقع زيادته بقدر ما تريد.
كيفية البحث عن مجال وظيفة عقلانية
بادئ ذي بدء , لنتذكر أن الدالة الكسرية هي خارج قسمة اثنين من كثيرات الحدود بالصيغة:
\[f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{a_0 + a_1 x + ...+ a_m x^m}{b_0 + b_1 x + ...+ b_n x^n}\]كيف تجد المجال للدالة المنطقية أعلاه؟ علينا اتباع القاعدة: ابحث عن القسمة المحتملة على الجذور التربيعية الصفرية والسالبة.
في هذه الحالة , لا توجد جذور تربيعية سالبة محتملة , ولكن يمكن أن تكون هناك عمليات قسمة على الصفر , حيث يكون كثير الحدود في المقام صفرًا.
الاستنتاج بسيط للغاية: مجال الدالة الكسرية هو الخط الحقيقي الكامل باستثناء تلك النقاط التي يكون فيها كثير الحدود في المقام صفرًا.
مثال 3
أوجد مجال
\[f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}\]إجابه:
بادئ ذي بدء , علينا أن نفهم أن هذه دالة كسرية , لأن لديك متعددتي الحدود \(p(x) = x^2 + x + 1\) و \(q(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) في البسط والمقام , على التوالي.
إذن , الخطوة الأولى هي إيجاد أصفار كثير الحدود في المقام , لذلك علينا حل: \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\]
هذه المعادلة يصعب حلها نوعًا ما , لذلك سأعطيك هذا بالفعل \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)\) , لذا فنحن بحاجة إلى حل:
\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3) = 0\]مما يعني أن جذور كثير الحدود في المقام هي \(x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3\). الاستنتاج هو أن مجال الوظيفة هو الخط الحقيقي بالكامل , باستثناء النقاط 1 و 2 و 3. باستخدام تدوين الفاصل , يكون المجال \((-\infty, +\infty) \backslash \{1,2,3\}\).
استراتيجيات أخرى لإيجاد مجال الوظيفة
البديل لإيجاد مجال دالة من خلال النظر إلى التقسيمات المحتملة على صفر أو جذور تربيعية سالبة , وهي الطريقة التحليلية , هو النظر إلى الرسم البياني.
الطريقة بسيطة: يمكنك إنشاء خط عمودي \(x = a\). إذا تجاوز هذا الخط العمودي الرسم البياني للوظيفة عند نقطة واحدة فقط , فإن \(x = a\) ينتمي إلى المجال.
قصير و حلو.
أخيرًا , كيف تجد مجال دالة ذات جذر تربيعي
هذا هو جوهر إحدى التقنيات التي تحدثنا عنها , وهي إيجاد جذور تربيعية سالبة محتملة. إذن , عندما يكون لديك دالة ذات جذر تربيعي واحد أو أكثر , فأنت تعلم أنه من المحتمل جدًا أن يكون لديك جذر سلبي محتمل , وتحتاج إلى اكتشافه.
هذا ليس هو الحال دائمًا. فكر في الوظيفة \(f(x) = \sqrt{x^2}\). هذه الدالة لها جذر تربيعي aa , لكن السعة الموجودة بداخلها هي \(x^2\) , والتي لا يمكن أن تكون سالبة , لذلك لدينا حالة دالة ذات جذر تربيعي ليس لها جذور تربيعية سالبة.