خاصية التبديل من إضافة
الخاصية التبادلية للإضافة هي واحدة من الافتراضات الحاسمة في الرياضيات , والتي ربما تأخذها كأمر مسلم به وتستخدمها طوال الوقت دون أن تعرف.
تدور فكرة التبادلية حول ترتيب العملية. السؤال هو , هل لدي ذلك
\[\large a + b = b + a\]لأي رقم \(a\) و \(b\)؟ بالنسبة لك قد يكون هذا سؤال سخيف. مثل "ماذا تقصد بالطبع". لكن التبديل لا ينطبق على جميع العمليات. لكن يحدث أن يكون ذلك صحيحًا بالنسبة إلى الجمع المشترك للأرقام.
هل هناك دليل على تبادلية الجمع؟ من الناحية الفنية لا , لأنها بالأحرى بديهية للأرقام الحقيقية كمجال جبري.
ومع ذلك , ولكن فهم كيفية عمل الإضافة , فمن السهل أن نتفق على أن التبادلية منطقية , وبالتالي , فإننا نتبنى البديهية.
على سبيل المثال , من المنطقي أن يعتقد العالم أن \(3 + 4\) هو نفسه \(4 + 3\). لماذا هذا ؟؟ بسبب الطريقة التي نجري بها الإضافة في أذهاننا: إنها مثل العد 3 (على سبيل المثال , باستخدام الأصابع) ثم نحسب 4.
لذلك فإننا نفترض أننا في النهاية نحسب نفس القدر من الأصابع , حتى لو عدنا 4 أول و 3 ثوان.
هذه طريقة جيدة لرؤيتها. ومفهوم الاستخلاص من هذا هو أن التبديل لا يتم منحه , وستحصل عليه بعض العمليات والبعض الآخر لن يحصل عليه.
عمليات أخرى لها تبادلية
هل التبديل شائع؟ نعم , إلى حد كبير. لكن ليس كل العمليات لها. حتى الأشياء الشائعة. على سبيل المثال , تعد عملية مضاعفة الأرقام تبادلية. هذا لدينا ذلك
\[\large a\cdot b = b \cdot a\]لجميع الأعداد الحقيقية \(a\) و \(b\). حسنًا , هذا يعني أن التبديل ينطبق على جميع العمليات المشتركة؟ ليس كل شيء. على سبيل المثال , لا يعتبر طرح أو قسمة الأرقام تبادليًا. في الواقع , بشكل عام
\[\large a - b = \not b - a\]والمساواة تنطبق فقط عندما \(a = b\). على سبيل المثال , \(3 - 1 = 2\) و \(1 - 3 = -2\) ليسا متساويين. لذا , فإن طرح الأرقام ليس تبادليًا. متفاجئ؟ حسنًا , أنت تعرف ذلك الآن.
أيضا , بالنسبة للقسم لدينا ذلك بشكل عام
\[\large a / b = \not b / a\]والمساواة تنطبق فقط عندما \(a = b\). على سبيل المثال , \(6 / 3 = 2\) و \(3 / 6 = 1/2\) ليسا متساويين. لذا , فإن قسمة الأرقام ليست تبادلية.
مثال 1
ضع في اعتبارك العملية التالية بين الأعداد الحقيقية \(a\) و \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b\]هل هذه العملية تبادلية؟
إجابه:
نظرًا لأن جمع وضرب الأعداد الحقيقية أمر تبادلي , فلدينا ذلك
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b = b \cdot a + b + a = b \odot a \]مما يعني أن العملية \(\odot\) تبادلية.
مثال 2
الآن ضع في اعتبارك العملية التالية بين الأعداد الحقيقية \(a\) و \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b\]هل هذه العملية تبادلية؟
إجابه:
لاحظ أن
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b \] \[\large b \odot a = b\cdot a + b + 2a \]وماذا بعد
\[\large a \odot b - b \odot a = a\cdot b + a + 2b - (b\cdot a + b + 2a) \] \[\large = a\cdot b + a + 2b - b\cdot a - b - 2a\] \[\large = a\cdot b + a + 2b - a\cdot b - b - 2a\] \[\large = a + 2b - b - 2a\] \[\large = b - a\]وهو ليس صفرًا بشكل عام. وبالتالي , هذا يعني أن العملية \(\odot\) ليست الآن تبادلية.
المزيد عن الملكية التبادلية للإضافة
لذلك , يبدو أن التبديل التبادلي واضح جدًا عند إضافة الأرقام , وكذلك لمضاعفة الأعداد. ولكن , هل ينطبق على جميع العمليات التي يمكننا التفكير فيها؟ إجابة سريعة: بالتأكيد لا.
لا نحتاج إلى الذهاب بعيدًا للعثور على أمثلة لعمليات غير تبادلية. على سبيل المثال , دعونا نفكر في ضرب المصفوفات. قد تتفاجأ من ذلك , لكن ضرب المصفوفات ليس تبادليًا.
بمعنى آخر , يمكن أن يكون لديك مصفوفات \(A\) و \(B\) من أجلها \(A \cdot B = \not B \cdot A\). لا تصدق ذلك؟ تحقق من ذلك: النظر
\[\large A = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] , B = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \]ثم في هذه الحالة لدينا ذلك
\[\large A \cdot B = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 &3 \end{matrix}\right] \]و
\[\large B \cdot A = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix}\right] \]مما يوضح أنه ليس صحيحًا بشكل عام أن \(A \cdot B = B \cdot A\).
يمكنك قراءة المزيد عن خاصية التبديل وكذلك عن ملكية مشتركة . هاتان الخاصيتان هما حجر الأساس للهيكل للأرقام الحقيقية.