الخاصية الترابطية هي إحدى تلك الخصائص التي لا يكثر الحديث عنها , لأنها تعتبر أمرًا مفروغًا منه , ويتم استخدامها طوال الوقت دون علم. تتعلق الخاصية الترابطية بالمعاملات التي نعالجها أولاً عند تشغيل أكثر من معاملين , وكيف لا يهم ما هي المعاملات التي نقوم بتشغيلها أولاً , من حيث النتيجة النهائية للعملية.

الخاصية الترابطية هي حجر الزاوية في الجبر , وهي أساس معظم العمليات التي نجريها يوميًا , حتى بدون علم. القيام بالجبر بدون الخاصية الترابطية , على الرغم من أنه ممكن , إلا أنه صعب إلى حد ما. هناك تراكيب في الرياضيات لا يُفترض فيها أن الترابط صحيح , لكن تلك الهياكل محدودة بدرجة أكبر.

في صميم الملكية الترابطية , نحتاج إلى فهم فكرة العملية أولاً. بدون التعمق في التقنية , فإن العملية "\(\circ\)" هي ببساطة طريقة لأخذ عنصرين \(a\) و \(b\) في مجموعة معينة \(E\) , والقيام "بشيء ما" معهم لإنشاء عنصر آخر \(c\) في المجموعة \(E\).

إذن , تأخذ \(a\) و \(b\) , وتقوم بتشغيلهما وتحصل على \(c\). يمكن وضع مثل هذا الإجراء رياضيًا كـ \(a \circ b = c\).

من المهم ملاحظة أنك قمت بتشغيل عنصرين , \(a\) و \(b\) , للحصول على \(c\). أؤكد مرة أخرى , فأنت تقوم بتشغيل عنصرين , \(a\) و \(b\). حتى الان جيدة جدا. لذا , سؤال , ماذا لو كنت تريد تشغيل ثلاثة عناصر. حسنًا , لا يمكنك , بعد كل العمليات أن تأخذ عنصرين , فماذا ستفعل بالعنصر الثالث. أو يمكنك؟

حسنًا , ماذا لو قمت بتشغيل اثنين منهم أولاً , ثم قمت بتشغيل العنصر الثالث بنتيجة تشغيل أول عنصرين؟ نعم , يمكن القيام بذلك. لذلك , لنفترض أن لديك ثلاثة عناصر \(a\) و \(b\) و \(c\) وتريد تشغيلها. إحدى الطرق هي تشغيل \(a\) و \(b\) أولاً , ثم تشغيل النتيجة بـ \(c\). سيكون ذلك \((a\circ b)\circ c\).

لاحظ الأقواس هناك. انه موجود لسبب. من خلال كتابة \((a\circ b)\circ c\) أنت تقول أنك تعمل \(a\) و \(b\) أولاً , ثم تقوم بتشغيل \(c\). عادل بما يكفي. تبدو هذه طريقة مرضية لتشغيل \(a\) و \(b\) و \(c\). لكن هل هذا هو السبيل الوحيد؟ ماذا لو قمت بتشغيل \(b\) و \(c\) أولاً , ثم أعمل \(a\) بنتيجة تشغيل \(b\) و \(c\). يمكنك كتابة ذلك كـ \(a\circ (b\circ c)\).

الآن السؤال الكبير: هل هو نفسه إذا قمت بتشغيل هذه العناصر الثلاثة بالطرق الموضحة أعلاه. هل أحصل على نفس النتيجة النهائية إذا قمت بتشغيل الأولين وتم تشغيل النتيجة مع العنصر الثالث , أو إذا قمت بتشغيل العنصر الأول بنتائج تشغيل العنصرين الآخرين؟ أو ببساطة , \((a\circ b)\circ c\) هو نفسه \(a\circ (b\circ c)\). أصدقائي الأعزاء , تعتمد الإجابة على ما إذا كانت العملية ترابطية.

تعريف: العملية \(\circ\) هي عملية ترابطية إذا كانت لأي ثلاثة عناصر \(a\) و \(b\) و \(c\) , لدينا ذلك

ليست كل العمليات تفي بهذه الخاصية الترابطية , فإن الغالبية تفعل ذلك , لكن البعض الآخر لا يفعل ذلك. العمليات الأكثر شيوعًا , تلك التي نعرفها , تُرضي الترابط , مثل الجمع أو الضرب

مثال 1

تحقق من بعض الأرقام لتقنع نفسك بأن الارتباط يتم تحقيقه من أجل المجموع المشترك "\(+\)".

إجابه:

على سبيل المثال , دعنا نفكر في 3 أرقام: \(8\) و \(4\) و \(7\). دعونا نتحقق مما إذا كان الارتباط قد تم تحقيقه أم لا لهذه البيانات. لاحظ أن:

من ناحية أخرى , لدينا ذلك

ومن ثم , في هذه الحالة \((8 + 4) + 7 = 8 + (4 + 7)\).

الخاصية الترابطية المستخدمة لتحديد العمليات التي تحتوي على أكثر من عمليتين

لذلك , ليست كل العمليات ترابطية , لكن معظم العمليات التي نعرفها هي كذلك. عندما يتم استيفاء الترابطية , يمكننا أن نحدد , دون غموض , عملية أكثر من معاملتين. لتبسيط الأمر , نكتب ببساطة \(a \circ b \circ c\) , بدون أقواس لأنه نظرًا لخاصية الترابط , نعلم أنه لا يهم كيف نجمع المعاملات , سنحصل على نفس النتيجة النهائية للعملية.

مثال 2

دعونا نحدد العملية التالية:

هل هذه العملية ترابطية؟

إجابه:

لاحظ أن

من ناحية أخرى , لدينا ذلك

ومن ثم , فليس صحيحًا دائمًا أن \(\left( a\circ b \right)\circ c = a\circ \left( b\circ c \right) \). لذلك , فإن العملية "\(\circ\)" ليست ترابطية.