خاصية التبديل
الخاصية التبادلية هي إحدى خصائص العمليات الجبرية التي لا نتحملها , لأنها عادة ما يتم اعتبارها أمرا مفروغا منه. تتعلق الخاصية التبادلية بترتيب العملية بين معاملين , وكيف لا يهم الترتيب الذي نقوم بتشغيلهما , نحصل على نفس النتيجة النهائية للعملية.
الخاصية التبادلية هي أحد الأركان الأساسية للجبر , وهي شيء نستخدمه طوال الوقت دون أن نعرف. إنه حتى في أذهاننا دون علم , عندما نستخدم للحصول على "ترتيب العوامل لا يغير المنتج".
بادئ ذي بدء , نحن بحاجة إلى فهم مفهوم العملية. من الناحية الرياضية , العملية "\(\circ\)" هي ببساطة طريقة لأخذ عنصرين \(a\) و \(b\) في مجموعة معينة \(E\) , والقيام "بشيء ما" معهم لإنشاء عنصر آخر \(c\) في المجموعة \(E\).
إذن , عندما تأخذ عنصرين \(a\) و \(b\) في مجموعة , فإنك تشغلهما بالعملية "\(\circ\)" وتحصل على \(c\). تكتب هذا رياضيا كـ \(a \circ b = c\).
تعريف: العملية \(\circ\) تبادلية إذا كان لدينا أي عنصرين \(a\) و \(b\)
\[ a\circ b = b \circ a\]لاحظ أنه ليست كل العمليات تفي بهذه الخاصية التبادلية , على الرغم من أن معظم العمليات المشتركة تفعل ذلك , ولكن ليس جميعها. في الواقع , يفي الجمع والضرب بالخاصية التبادلية , لكن الطرح والقسمة لا يحققان ذلك.
مثال 1
أن يكون الطرح الشائع "\(-\)" غير تبادلي.
إجابه:
في الواقع , دعونا ننظر في الأرقام: \(8\) و \(4\). لاحظ ان:
\[ \large 8 - 4 = 4 \]بينما
\[ \large 4 - 8 = -4 \]إذن , \(8 - 4\) لا يساوي \(4 - 8\) , مما يعني أن عملية الطرح "\(-\)" ليست تبادلية.
مثال 2
دعونا نحدد العملية التالية:
\[ \large a\circ b = ab+a+b \]هل هذه العملية تبادلية؟
إجابه:
لاحظ ان
\[ a \circ b = ab+a+b\]من ناحية أخرى , حصلنا على ذلك أيضًا
\[ b \circ a = ba+b+a = ab + a + b\]لأن كلا من الجمع المشترك والضرب تبادلي. إذن , يمكننا أن نرى أن \(a \circ b = b \circ a\). ومن ثم , فإن العملية "\(\circ\)" تبادلية.
المزيد عن التبادلية
التبادلية هي إحدى الخصائص التي ربما استخدمتها دون تفكير مرات عديدة. تحصل عليه منذ سنوات الدراسة الابتدائية , مثل التهويدة: "ترتيب العوامل لا يغير المنتج". وأعتقد أنه يعمل لأنه ثابت. إذا أخبروك أن "الضرب هو عملية تبادلية" , وأراهن أنه سيظل أقل.
شيء واحد مهم هو عدم الخلط الترابطية مع التبادلية. عندما نشير إلى الترابطية , فإننا نعني أنه أيًا كان الزوج الذي نعمل به أولاً , لا يهم. هذا هو ليس نفس الشيء كقوله أن ترتيب العملية لا يهم , فهي ملك للترابط.
لماذا الخاصية التبادلية مهمة؟
ال خاصية التبديل مهم جدًا لأنه يتيح مستوى من المرونة في حساب العمليات لم يكن لديك لولا ذلك. هناك تراكيب رياضية لا تعتمد على التبادلية , بل إنها عمليات شائعة (مثل الطرح والقسمة) لا ترضيها. لذا , فإن التبديل هو خاصية مفيدة , لكن لا يتم الوفاء بها دائمًا.