更多关于抽样分布的样本比例

样本比例被定义为\(\displaystyle \hat p = \frac{X}{n} \),其中\(X\)是有利情况的数量,\(n\)是样本大小。 这种情况可以被认为是\(n\)连续的bernoulli试验\(X_i\),这样\(\Pr(X_i = 1) = p\)和\(\Pr(X_i = 0) = 1-p\)。 在这种情况下,有利情况的数量是\(\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i\),并且通过平均\(X_1, X_2, ...., X_n\)获得样本比例\(\hat p\)。这表明当样本大小足够大时,我们可以通过中央限制定理使用正常近似。

样本比例的平均值和标准误差是：

\[\mu (\hat p) = p\] \[\sigma (\hat p) = \displaystyle \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

因此,当样本大小足够大,而\(np \geq 10\)和\(n(1-p) \geq 10\),那么我们可以近似概率\(\Pr( p_1 \le \hat p \le p_2)\)

\[ \Pr( p_1 \le \hat p \le p_2) = \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}) \] \[\approx \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le Z \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} ) \]

习惯性地应用连续性校正因子\(cf = \frac{0.5}{n}\)以补偿基本分布是离散的事实,特别是当样本大小不够大时。如果您正在寻找样本的采样分布,则使用 这个这个器 反而