Калькулятор формулы двойного угла

Этот калькулятор формулы двойного угла позволит вам указать определенный угол в радианах и получить все триггерные значения соответствующего двойного угла. Проще говоря, это калькулятор для вычисления таких вещей, как sin(2x) с точки зрения значений триггера для x.

Обратите внимание, что угол должен быть выражен в радианах. Если у вас есть это в градусах, вы можете использовать это градусы в радианы калькулятор чтобы сделать конвертацию.

Один интересный момент, касающийся тригонометрических функций, заключается в том, что существует способ вычислить значение тригонометрической функции двойного заданного угла с помощью относительно простых формул, используя так называемые формулы двойного угла.

Какова формула двойного угла?

Предположим, что у нас есть угол \(\theta\), равный измеряется в радианах , а \(2 \theta\) — двойной угол. Затем для двойного угла используются следующие формулы тождеств двойного угла

\[\sin(2\theta) = 2\sin(\theta) \cos(\theta)\] \[\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\] \[\tan(2\theta) = \displaystyle \frac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}\]

Что хорошо в этих формулах, так это то, что если вы знаете тригонометрические значения угла \(\theta\), вы можете использовать приведенные выше формулы для вычисления тригонометрических формул для \(2\theta\). Итак, скажем, что вы знаете тригонометрические значения для 30 ^О , то вы можете использовать приведенные выше формулы для вычисления тригонометрических значений для 60 ^О

Это формулы, которые Калькулятор двойного угла предоставит вам, как только будет предоставлен действительный угол в радианах.

Пример использования двойных углов

Формула двойного угла Пример: Мы знаем, что \(\sin(45^o) = \sin(45^o) = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \). Вычислим \(\sin(90^o)\). Обратите внимание, что \(90^o\) — это двойной угол \(45^o\), поэтому, используя приведенную выше формулу

\[\sin(90^o) = \sin(2\cdot 45^o) = 2\sin(45^o) \cos(45^o) =\displaystyle 2 \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1\]

Для чего вы используете двойной угол?

Мы сказали, что двойной угол может быть очень полезен для расчетов, но на самом деле это скорее теоретическое применение. Я имею в виду, что тригонометрические таблицы вычисляются не с использованием двойного угла, начиная с некоторых известных углов, а с использованием приближение Тейлора вместо этого.

Формулы двойного угла чрезвычайно полезны в тождествах, используемых для обеспечения возможности определенного вычисления тригонометрических интегралов.

Тесно связанные и концептуально эквивалентные, вы можете использовать эти половинный угол формулы для вычисления тригонометрический смысл половинного угла \(\frac{\theta}{2}\) при заданных тригонометрических значениях \(\theta\).

Пример расчета двойного угла (включая касательный двойной угол)

Вопрос : Используйте формулу двойного угла для синуса, косинуса и тангенса, для исходного угла: \(\theta = \frac{\pi}{8}\).

Отвечать: Это то, что вы можете легко сделать с помощью этого калькулятора тождеств с двойным углом. Нам дан угол \(\theta = \frac{\pi{}}{8}\) радиан. Следующие формулы двойного угла используются для нахождения тригонометрических значений соответствующего двойного угла \(2\theta\).

Для Их:

\[ \begin{array}{ccl} \sin(2\theta) & = & \displaystyle \sin(2 \cdot \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 2 \sin(\frac{\pi{}}{8}) \cos(\frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 2 \times 0.383 \times 0.924 \\\\ \\\\ & = & 1 \end{array}\]

Теперь о косинусе:

\[ \begin{array}{ccl} \cos(2\theta) & = & \displaystyle \cos(2 \cdot \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \cos^2(\frac{\pi{}}{8}) - \sin^2(\frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 0.924^2 - 0.383^2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 0.8538 - 0.1467 \\\\ \\\\ & = & 0.707 \end{array}\]

Теперь по касательной:

\[ \begin{array}{ccl} \tan(2\theta) & = & \displaystyle \cos(2 \times \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \tan(\frac{\pi{}}{8})}{1-\tan^2(\frac{\pi{}}{8})} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \times 0.414}{1-0.1714} \\\\ \\\\ & = & 0.999 \end{array}\]

Таким образом, исходя из угла, представленного в радианах \(\theta = \frac{\pi{}}{8}\), соответствующими выражениями двойного угла являются \(\sin(2\theta) = 1\), \(\cos(2\theta) = 0.707\) и \(\tan(2\theta) = 0.999\).