ما هو حد التسلسل؟
التسلسل \(a_n\) يتوافق مع مصفوفة لا نهائية أو قائمة أرقام للنموذج
\[a_1, a_2, a_3, ....\]حيث \(a_1, a_2, a_3, ...\) هي أرقام حقيقية. على سبيل المثال , التسلسل
\[a_n = \frac{1}{n}\]تمثله القائمة
\[1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ....\]لأن هذه هي القيم التي يأخذها التعبير \(a_n = \frac{1}{n}\) عندما يأخذ \(n\) القيم 1 , 2 , 3 , ... إلخ.
تقارب المتواليات
أحد المفاهيم التي يصعب فهمها عادةً هو تقارب التسلسل. الفكرة بسيطة للغاية: التسلسل \(a_m\) يتقارب مع قيمة \(a\) إذا كانت قيم التسلسل تقترب أكثر فأكثر من \(a\) (في الواقع تقترب كما نريد) مثل \(n\) تقترب من اللانهاية.
على سبيل المثال: التسلسل \(a_n = 1/n\) هو من هذا القبيل
\[a_n = \frac{1}{n} \to 0\]لأن قيمة \(1/n\) تصبح "قريبة من الصفر كما نريد" كما تقترب \(n\) من اللانهاية.
التعريف الرسمي للتقارب:
التسلسل \(a_n \to a\) كـ \(n \to \infty\) , أو يُقال بطريقة أخرى \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) إذا
• لجميع \(\varepsilon >0\) , يوجد \(n_0\) مثل \(n \geq n_0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, |a_n - a|< \varepsilon \)
هذا يعني أنه بغض النظر عن مدى قربك من التسلسل من \(a\) , هناك دائمًا نقطة في التسلسل بحيث تكون جميع النقاط التي تزيد عن ذلك قريبة بدرجة كافية من \(a\). بعبارة أخرى لا يشير تقارب التسلسل إلى أن بعض أرقام التسلسل يقترب بدرجة كافية من الحد \(a\) , ولكنه يشير بدلاً من ذلك إلى أننا إذا ذهبنا بعيدًا بما يكفي في التسلسل , فإن جميع قيم if ستكون قريبة بدرجة كافية.
جبر الحدود
العمل مع الحدود ليس معقدًا بمجرد أن نعرف بعضًا منها. في الواقع , هناك قواعد بسيطة تسمح بحساب حدود أكثر تعقيدًا بناءً على حدود أبسط. هذه القواعد موضحة أدناه:
إذا كان \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) و \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = b\) إذن لدينا:
(1) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}+\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a + b \)
(2) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n b_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}\times\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a b \)
(3) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{a}{b} \)
(حيث يتم الاحتفاظ بالملكية (3) طالما \(b \ne 0 \).)
مثال: الحد
\[\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2 + 1}\]يتم حسابه أولاً بضرب كل من البسط والمقام في \(\frac{1}{n^2}\) , مما يعني
\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2 + 1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n^2}}= \frac{1}{1} = 1\]لأن \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0\).