如何求函数的逆
代数和微积分中的许多应用都依赖于知道如何找到函数的逆,这就是本教程的主题。
首先,你需要意识到,在找到一个函数的逆之前,你需要确保这样的逆存在。
我们将使用的求逆方法的好处在于,我们将找到逆并同时找出它是否存在。
准备好？？那就系好。
如何判断一个函数是否有逆函数？
从技术上讲,当函数是一对一（内射）和满射时,它具有逆函数。
但关键的条件是它必须是一对一的,因为可以通过将其范围限制为自己的图像来使函数成为满射的。
你怎么知道一个函数什么时候是一对一的？
好吧,至少有几种方法。一种是代数方式,另一种方式是图形方式（我敢打赌我知道你更喜欢哪种方式,嗯？）
代数方式
对于代数方式,为了使函数 \(f\) 一对一,我们需要证明每次 \(f(x) = f(y)\) 时,我们都需要有 \(x = y\)。
换句话说,我们需要证明
\[f(x) = f(y) \,\,\Rightarrow \,\, x = y\]
图形方式
对于图形方式,我们需要使用 水平线测试 ：对于我们绘制的任何水平线,函数的图形最多与该水平线交叉一次。
图形化：
它通过了水平线测试
它没有通过水平线测试
求逆
找到给定函数 \(f(x)\) 的逆需要您解方程。
事实上,你有方程 \(f(x) = y\),你把 \(y\) 作为一个给定的数字,你需要为 \(x\) 解它,你需要确保解是唯一的。
就这些。容易吧？？
现在,进入实际步骤：
第1步：
对于给定的 \(y\),设置等式：
并为 \(x\) 解决它。
第2步：
确保您注意查看哪个 \(y\),实际上有一个独特的解决方案。
第 3 步：
一旦您根据 \(y\) 求解 \(x\),依赖于 \(y\) 的表达式将是您的 \(f^{-1}(y)\)。
第四步：
将变量名称从 \(y\) 更改为 \(x\),您就拥有了反函数 \(f^{-1}(x)\)。
例 1
求函数 \(f(x) = \sqrt x\) 的逆函数
回答：
因此,我们将 \(y\) 作为给定,我们需要解决 \(f(x) = y\),在这种情况下,它对应于解决
\[\sqrt x = y\]注意平方根总是非负的,所以为了有一个解,我们需要 \(y\ge 0\)。
将正方形应用于两侧我们得到
\[\Rightarrow \,\, (\sqrt x)^2 = y^2\] \[\Rightarrow \,\, x = y^2\]那么,\(f^{-1}(y) = y^2\),并切换变量名,我们得到的反函数是
\[f^{-1}(x) = x^2\]对于 \(x\ge 0\)。
例2
找到函数 \(f(x) = \displaystyle \frac{x}{x+1}\) 的逆函数,对于 \(x > -1\)
回答：
同样,我们将 \(y\) 视为给定,现在我们需要求解 \(x\) 方程 \(f(x) = y\)。所以我们有
\[\displaystyle \frac{x}{x+1} = y\] \[\Rightarrow \,\, x = y(x+1)\] \[\Rightarrow \,\, x = yx + y\] \[\Rightarrow \,\, x - yx = y\] \[\Rightarrow \,\, x(1 - y) = y\] \[\Rightarrow \displaystyle \,\, x = \frac{y}{1-y}\]那么,\(f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y}{1-y}\),并切换变量名,我们得到的反函数是
\[f^{-1}(x) = \displaystyle \frac{x}{1-x}\]更多关于求函数的逆
反函数 \(f^{-1}(x)\) 的关键特性之一是 \(f(f^{-1}(x)) = x\)。
想想这件事在说什么。类似于：“反向求值的函数为您提供身份”。
或者换句话说,通过函数计算逆函数就像对参数不做任何处理。
或者像有些人喜欢说的：函数可以在某种程度上取消逆。
你选择你的版本。
如何找到二次函数的反函数？你是否可以？
实际上,答案是：视情况而定。这是因为如果我们考虑一个二次函数 在整条实线上 ,则它不是 1 比 1,因为它没有通过水平线测试,如下图所示：
通过不通过水平线测试,我们可以看到对于给定的 \(y\) 有多个 \(x\) 值,因此 \(f(x) = y\),因此我们无法“解决”\(x\),因为有多个 \(x\)。
但是,如果您限制域,并考虑只说正数,我们将得到以下结果：
它通过了水平线测试,因此二次函数是可逆的。
故事的寓意：为了检查某物是否可逆,它不仅与功能有关。它是关于功能及其 域和范围 .
如何快速找出反函数图
总是需要评估函数 \(f(x)\) 是否可逆（通过检查它是否是一对一的）。但是假设你知道它是可逆的,有一种简单的方法可以找到逆的图形。
首先,绘制给定的函数 \(f(x)\)。
然后,绘制 45 度线 \(y = x\)。
要绘制 \(f^{-1}(x)\) 图形,您所要做的就是像镜子一样通过 45 度线 \(y = x\) 反映 \(f(x)\) 的图形。
请参阅下面带有函数 \(f(x) = \sin x\) 和 \(f^{-1}(x) = \arcsin x\) 的示例
另一种看待这一点的方法是使用原始 图形 并将 \(x\) 的值更改为 \(y\) 的值。
有没有办法让函数成为它自己的逆函数？
是的,它实际上是可能的,但它只发生在恒等函数中,即 \(f(x) = x\)。