函数的图是一组有序对 \((x,y)\)。或者,函数的图形是我们在坐标系上做一组对 \((x,y)\) 的概念化。我说这是一种概念化,因为我们表示图形的方式在某种程度上是一种视错觉。

我为什么这么说？好吧,看一看。当我说“图形”时,您会想到什么。先看图。

所以这是一个图表。一组 \((x, y)\) 对,或者我们也可以称之为点。下面突出显示了一个具体点,看看

诀窍或视觉错觉是,理论上,一个点没有尺寸（没有宽度,没有长度）。所以我们绘制的这条“曲线”来表示一个图形,它是一种表示图形的方便方式,但我们有点作弊,因为这种表示有一条有厚度的曲线。

所以,这不是要在你的游行中下雨,只是为了表明你所理解的图表,它是一个 表示 一个方便可信的图表。

与函数相关的图形

定义图形的一种非常简单的方法是使用函数 \(f(x)\)。实际上,由函数 \(f(x)\) 定义的图是所有点 \((x, f(x))\) 的集合,对于 \(x \in D\),其中 \(D\) 是函数 \(f\) 的域。

表示与之前的图相同,只是现在我们执行以下操作：

在这种情况下,最明显的区别是 \((x,y)\) 对的第二个组件不仅仅是任何值 \(y\)。第二个分量是 \(f(x)\),所以它由 \(x\) 唯一确定。

例 1

绘制函数 \(f(x) = x^2\) 的图形。

回答：

没什么奇怪的,我们只需要绘制一个函数的图形即可。图中的点的形式为 \((x, f(x)) = (x, x^2)\)。也就是说,\(x\) 的值与图上的 \(x^2\) 相关联。

图上的点示例：\((1, 1)\),\((2, 2^2) = (2, 4)\),\((3, 3^2) = (3, 9)\) 等。在图形上,我们得到以下图表示：

连续图与不连续图

当我们想到图形时,我们在脑海中做出的假设之一是平滑,没有任何跳跃。情况并非总是如此。有些函数会导致函数跳转,甚至导致出现奇怪的图形。其他函数的图形非常平滑,就像 \(f(x) = x^2\) 发生的那样。

函数平滑度的概念在微积分中用连续函数的概念正式处理。但是不用多说,我们可以说,就目前而言,我们会认为连续函数是具有“平滑”图形的函数,不连续函数是不平滑的函数,或者它具有“跳跃” ”。

示例 2

函数 \(f(x) = sin(x)\) 是连续的吗？

回答：

好吧,同样,我们需要正式的连续性分析来检查。但是根据上面给出的非正式定义,让我们检查一下它的图表。计算机为我们提供以下信息：

我会说上面的图看起来非常平滑,没有任何跳跃,所以使用我们的幼稚定义,我会说 \(f(x) = \sin x\) 是连续的。

示例 3

函数 \( f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{cc}-1 &\,\,\,\,\text{for } x\le 1 \\ \\ x & \,\,\,\,\,\,\text{for }x>1 \\ \end{array} \right.\) 是连续的吗？

回答：

为了回答这个问题,我们需要绘制图形。计算机为我们提供以下信息：

注意\(x = 1\)点有一个跳跃,所以我会说上图有一个跳跃,因此,这个函数是不连续的。

更多关于图表

使用图形来表示函数对于理解函数的行为起着至关重要的作用。

有足够的分析（微积分）工具来了解函数 \(f(x)\) 的行为,而无需绘制它。但是,查看图表非常实用,因为这是了解函数正在做什么的一种非常快速的方法。

请注意,并非所有图形都必须来自函数。例如,图也可以来自关系。请参阅下图并告诉我您是否能发现与之相关的关系。

你没看错,上面的图是单位圆方程 \(x^2 + y^2 = 1\) 的表示,正如我们已经知道的,它决定了一个关系,而不是一个函数。

如果您需要构建图形,请尝试 函数绘图器 以很好地描述函数的行为方式。