代数教程

域和范围

函数的域是一个函数定义好的集合。更具体地说,让 \(f: D \rightarrow R\) 成为一个函数,这意味着 \(f(a)\) 是为 \(a \in D\) 定义好的。函数 \(f\) 的定义域是集合 \(D\)。

在数学上你会写出 \(dom(f) = D\)。

另一方面,函数的范围是一组可以通过函数达到的值。

更具体地说,让 \(f: D \rightarrow R\) 是一个函数,范围是所有可能值 \(b \in R\) 的集合,其中存在 \(a \in D\) 使得 \(f(a) = b\)。

通常,函数的范围写为 \(R(f)\) 或也写为 \(f(D)\)（也称为 \(D\) 通过函数 \(f\) 的图像集）。

了解函数的域至关重要,因为这为我们提供了一组安全的值,在这些值上可以很好地定义函数。

然后,范围很重要,因为它告诉我们函数可以达到哪些值。更图形化的解释是：如果水平线 \(y = b\) 与函数 \(f(x)\) 的图形相交,则点 \(b\) 在 \(f\) 的范围内。

实际上,如何计算域？

这是查找域和范围的方法：

对于域,您需要首先找到未定义函数的点。未定义运算的来源是除以零或负数的平方根。

因此,您需要找到那些未定义操作发生的点（如果有）。域将是其余的点,即所有点,不包括您发现导致未定义操作的点。

实际上,如何计算范围？

让 \(y\) 是一个数字,我们将为 \(x\) 求解以下方程 \(f(x) = y\)。如果 \(f(x) = y\) 可以求解 \(x\),则 \(y\) 值在范围内。

所以这有点棘手：您需要找到是否需要以任何方式限制 \(y\),以便 \(f(x) = y\) 有 \(x\) 的解决方案。

例 1

计算函数 \(\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}\) 的定义域和范围。

回答：

首先,我们需要计算域。我们需要看看函数在哪里定义得很好。通常从没有明确定义的地方开始会更容易。

所以在这种情况下,所有似乎都是有效的操作,除了一件事：分母不能为零。

笔记： 找到域的主要关键是识别可能被零除或负值的潜在平方根的点,这些点是无效的操作。

因此,该函数定义良好,除了 \(x-1 = 0\) 时,它发生在 \(x = 1\) 时。因此,我们说域是整条实线,除了值 \(1\)。

使用区间符号,我们会写 \(dom(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\)。

现在我们需要计算范围。通常,获取范围可能比获取域更费力,但我们开始了。

有很多方法可以找到范围：有些方法可能依赖于函数的图形表示来声明函数的范围。那可能行得通,但这不是真正的答案,只是一种受过教育的预感。

另一种方法是正式的数学方法：让 \(y\) 是一个数字,我们将为 \(x\) 求解以下方程 \(f(x) = y\)。如果 \(f(x) = y\) 可以求解 \(x\),则 \(y\) 值在范围内。

在这种情况下,我们有：

\[\large f(x) = y \Leftrightarrow \frac{x+1}{x-1} = y\] \[\Rightarrow \,\,\,x+1=y\left( x-1 \right)\] \[\Rightarrow \,\,\,x+1=yx-y\] \[\Rightarrow \,\,\,x-yx=-1-y\] \[\Rightarrow \,\,\,x\left( 1-y \right)=-1-y\] \[\Rightarrow \,\,\,x=\frac{y+1}{y-1}\]

那么,\(x\) 何时定义良好？几乎所有 \(y\),除了 \(y = 1\) 时,因为在这种情况下,我们有一个被 \(0\) 的除法。因此,在这种情况下 \(f\) 的范围是整条实线,除了 1。

使用区间符号,我们会写 \(R(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\)。