代数教程

水平渐近线

在本教程中,我们将介绍 水平渐近线 及其最重要的应用。我们将尽量避免过于技术性的解释,但也会用到微积分的一些知识。

从本教程中获得的最重要的部分是关于水平渐近线的强烈几何直觉。让我们开始吧！

什么是水平渐近线

水平渐近线是一个上限,可以把它想象成一条水平线,它为给定函数的图形行为设定了一个界限。

这意味着,随着 \(x\) 值的增加,函数 \(f(x)\) 的图形有点接近这条水平线。

如何找到水平渐近线？

了解表现出这一特征的函数的这种极限水平行为,对于找到水平渐近线非常有用。

事实上,在某些情况下,当 \(x\) 的值较大时,这种限制行为看起来很像一条水平线。请看下面的函数示例。

如何利用极限找到函数的水平渐近线？

为了使定义更加清晰,在下列情况下,水平线 \(y = h\) 是函数 \(f(x)\) 的水平渐近线

\[\large \lim_{x\to\infty} f(x) = h\]

如果存在上述极限并且它是有限的。对于那些还没有上过微积分课的人来说,当 \(h\) 是函数 \(f(x)\) 的水平渐近线时,水平线 \(y = h\) 是函数 \(f(x)\) 的水平渐近线。 易腐烂 的 \(f(x)\) 接近无穷大。极限 "意味着什么？它意味着对于足够大的 \(x\) 值,\(f(x)\) 的值将与我们预先确定的 \(h\) 一样接近。很有意思吧？

水平渐近线的公式是什么？

为了找到水平渐近线的公式,我们首先需要找到相应的极限。假设

\[\large \lim_{x\to\infty} f(x) = h\]

在这种情况下,我们会说水平渐近线是 \(h\),水平渐近线的公式是 \(y = h\)。换句话说,水平渐近线就是简单的水平直线,这是一条斜率为零的直线。

这就给出了水平渐近线在极限方面的含义：找到的极限对应于定义水平线,即水平渐近线。

实例1

求函数的水平渐近线

\[ \large f(x) = \frac{x^2}{x^2+1} \]

回答：

为了找到水平渐近线,我们需要找到当 \(x\) 接近无穷大时函数 \(f(x)\) 的极限。如果您不熟悉微积分,则应首先尝试在 \(x\) 的很大值上对函数进行求值。

例如,假设 \(x = 1,000,000\)。让我们把这个数字输入函数：

\[ \large f(1,000,000) = \frac{1,000,000^2}{1,000,000^2+1} = \frac{1,000,000,000,000}{1,000,000,000,000+1}\] \[ = \frac{1,000,000,000,000}{1,000,000,000,001} = 0.999999999999 \]

事实上,当 \(x\) 较大时,\(x^2\) 的值相对于 1 而言非常大,以至于 \(x^2\) 至少相对于 \(x^2 + 1\) 非常相似。因此,用 \(x^2\) 除以分子和分母,我们可以得出

\[ \large f(x) = \frac{x^2}{x^2+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \rightarrow \frac{1}{1+0} = 1 \]

因为 \(\frac{1}{x^2}\) 接近 0 时,\(x\) 接近无穷大。因此,不难证明或确信

\[\large \lim_{x\to\infty} f(x) =\large \lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{x^2+1} = 1\]

这意味着水平渐近线是 \(y = 1\)。现在,如果你在考试或家庭作业中作答,请注意你的答案。有些人会说 "水平渐近线是 1",这是错误的。

严格来说,水平渐近线是函数 \(y = 1\),而不是数字 1。水平渐近线是一个恒定的函数,与数字不同。我只是说说而已,因为有些学生很挑剔。