衍生品的基本概念
假设您有一个函数 \(f(x)\)。例如,您可以使用 \(f(x) = x^2\) 之类的内容,或者 \(f(x) = \sin x\) 之类的内容。我们将函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点的导数定义为
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]如果极限存在。在你抱怨说“这到底是什么？？”之前让我告诉你一些事情,这并不复杂,因为它可能乍一看。首先,关于这个限制是什么的一些观察。
- 导数 \(f'(x)\) 也是一个函数 （无论何时定义）。
- 导数是在给定点 \(x_0\) 处计算的,使用上面显示的限制。如果这个极限存在,并且仅当它存在时,我们说导数在 \(x_0\) a 点是明确定义的,写成 \(f'(x_0)\)
- 换句话说,导数 \(f'(x)\) 可以认为是一个依赖于原函数 \(f(x)\) 的函数,它是逐点计算的。
- 就是这样,这就是你现在需要知道的（认真的！）。
请注意,在给定点 \(x_0\) 处的导数概念被解释为函数在该点的瞬时变化率。这是通过计算 平均变化率 对于宽度为 \(\Delta x\) 的间隔,并在它接近零时取 \(\Delta x\)。
是时候用一些简洁的例子来理解发生了什么：
例子 : 计算函数 \(f(x) = x^2\) 在 \(x_0 = 2\) 点的导数
解决方案 : 我们简单地使用定义并替换相应的术语。让我们看看我们得到了什么：
\[f'(2) = \lim_{x\to 2} \frac{x^2-2^2}{x-2}\]我们只是在导数的原始定义中替换了 \(f(x) = x^2\) 和 \(x_0 = 2\)。现在,注意到 \(x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)\),我们发现
\[f'(2) = \lim_{x\to 2} \frac{x^2-2^2}{x-2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}= \lim_{x\to 2} (x+2) = 4\]在下一个教程中,我们将了解有关如何计算导数的更多信息。
（继续教程 衍生品 2 )