代数教程

指数衰减公式

指数衰减公式是一个非常有用的公式,它出现在实践中的许多应用中,包括放射性衰变的建模。

我们在本教程中的主要目标是了解指数衰减公式,何时应用它以及如何处理其参数。

从代数上讲,一个指数衰减表达式是任何形式的表达式

\[\large f(x) = A e^{-kx}\]

其中 \(k\) 是满足 \(k > 0\) 的实数,而 \(A\) 也是满足 \(A > 0\) 的实数。

通常,参数 \(A\) 被称为 初始值 ,而参数 \(k\) 被称为 衰减常数 或者 衰减率 .

例如

\[\large f(x) = e^{-x} \]

和

\[\large g(x) = e^{-2x} \]

两者都对应于指数衰减的函数。

这些具有指数衰减的函数在图形上看起来如何？看看下面：

我们可以观察到的一件事是,这两个函数的衰减速度都非常快。

DECAY是什么意思？？？它们会衰减,因为随着 \(x\) 变得越来越大 (\(x \to +\infty\)),它们会迅速趋近于零。

事实上,在说 \(x > 4\) 之后的两个函数都非常小（图形几乎接触到 y 轴）。

此外,如果我们注意,我们会意识到 \(e^{-2x}\) 比 \(e^{-x}\) 衰减得更快。

题：

执行以下功能：

\[\large f(x) = 2^{-x}\]

有指数衰减？？？

答案是肯定的。

尽管您最初可能会想：“嗯,这不是指数衰减,因为我在任何地方都看不到‘\(e\)’……”。所以,这是非常有观察力的。

但是,不要忘记我们可以写

\[\large 2 = e^{\ln 2}\]

那么函数

\[\large f(x) = 2^{-x}\]

可以重写为

\[\large f(x) = 2^{-x} = \left(e^{\ln 2}\right)^{-x} = e^{-(\ln 2) x}\]

上述计算证明（咳嗽,咳嗽,对不起,我知道你不喜欢这个词）\(2^{-x}\) 是一个指数衰减函数,衰减常数为 \(k = \ln 2\)。

例 1：

求以下函数的初始值和衰减率：

\[\large f(x) = 3 e^{-4x}\]

回答：

根据给定的函数,我们直接得到这种情况下的初始值为\(A = 3\),衰减率为\(k = -4\)。

例 2：

判断下式是否有指数衰减,如果有,求其初值和衰减率：

\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]

回答：

请注意,我们没有直接在表达式中看到 '\(e\),但是,不要忘记我们可以写

\[\large 3 = e^{\ln 3}\]

那么函数

\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]

可以重写为

\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x} = \frac{1}{2} \left(e^{\ln 3}\right)^{-2x} = \frac{1}{2} e^{-2(\ln 3) x}\]

因此,这是一个指数衰减函数,其参数为：初始值\(A =\frac{1}{2}\)和指数衰减\(k = 2(\ln 3)\)。

应用：如何求指数公式的参数

很多时候,我们不仅仅得到指数衰减参数。是的。有时需要根据提供的某些信息计算这些参数,然后您需要关心如何解决指数衰减

该信息通常以以下两种类型之一给出：

类型 1： 我们知道存在指数衰减,并且我们得到了初始值和 半衰期

类型 2： 我们知道存在指数衰减,并且我们在两个不同的时间点获得了函数的值。

关于半条命的笔记

半衰期对应于指数衰减函数将其值变为其原始值的一半所需的时间。

因此,假设 \(h\) 是 \(f(x) = A e^{-kx}\) 的半衰期并且 \(A\) 是已知的。我们如何计算衰减率\(k\)？？请注意,当 \(x = h\) 时,我们将拥有最初的一半：

\[A/2 = f(h) = A e^{-k h}\]

并解决这个问题导致

\[A/2 = A e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)= \ln\left(e^{-k h}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -k h\] \[\Rightarrow \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2\]

在处理实际问题时,您可以直接使用公式,也可以通过设置有关半衰期的信息来简单地进行推导。

例 3：

假设一个函数的初始值为 \(A = 3\),它的半衰期是 \(h = 3\)。此外,假设函数具有指数衰减。求指数衰减率。

回答：

因此,这是我们可以提供的信息类型的第一种情况。我们需要找到初始值 \(A\) 和衰减率 \(k\) 才能完全确定指数衰减公式。

在这种情况下,我们已经给出了 \(A = 3\),所以我们剩下的就是计算衰减常数 \(k\)。由于我们知道半衰期,我们可以直接使用以下公式计算衰减率：

\[ \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2 = \frac{1}{3} \ln 2 \approx 0.231049 \]

因此,指数衰减公式为

\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 3 e^{-\frac{1}{3} \ln 2 x} \approx 3 e^{-0.231049 x} \]

例 4：

假设一个函数的初始值为 \(A = 5\),当 \(x = 4\) 时,我们有 \(f(4) = 2\)。此外,假设函数具有指数衰减。求指数衰减公式。

回答：

因此,这是我们可以提供的信息类型的第一种情况。我们需要找到初始值 \(A\) 和衰减率 \(k\) 才能完全确定指数衰减公式。

在这种情况下,我们得到了 \(A = 5\),然后我们只需要计算衰减常数 \(k\)。由于我们知道\(x = 4\)时函数的值：

\[ 2 = f(4) = 5 e^{-k \cdot 4}\] \[\Rightarrow 2 = 5 e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \frac{2}{5} = e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln\left(e^{-4k}\right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln 2 - \ln 5 = -4k\] \[\displaystyle \Rightarrow k = -\left(\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4}\right) \approx 0.229073 \]

所以现在我们已经计算了衰减因子,我们得到指数衰减公式是

\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 5 e^{-\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4} } \approx 3 e^{-0.229073 x} \]

如果我们绘制此函数,将获得以下结果：