代数教程

二项式定理

二项式定理是代数中最著名的定理之一,它在代数,概率和统计领域有很多应用。它为 n 陈述了一个漂亮而简洁的公式 ^日两个值之和的幂：\((a+b)^n\)

1665 年,艾萨克·牛顿爵士首次非正式地介绍了我。

许多其他著名的数学家在牛顿之后解决了二项式定理。在 17 和 18 世纪,这是一个非常吸引人的问题。

二项式展开的公式

二项式定理的整数之处在于它提供了一个非常优雅和简洁的公式。在进入公式之前,让我们做一些计算。例如,对于 \(n = 2\) 我们得到：

\[\large (a+b)^2 = (a+b) \times (a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a^2 + ba + ab + b^2 \] \[\large = a^2 + 2ab + b^2 \]

现在让我们尝试使用 \(n = 3\)：

\[\large (a+b)^3 = (a+b)^2 \times (a+b) = (a^2 + 2ab+b^2)(a+b) \] \[\large = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 \] \[\large = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]

最后,让我们勇敢地用 \(n = 4\) 试试吧：

\[\large (a+b)^4 = (a+b)^3 \times (a+b) = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)(a+b) \] \[\large = a^4 + 3a^3 b + 3a^2b^2 + ab^3 + a^3b + 3a^2b^2 + 3ab^3 + b^4 \] \[\large = a^4 + 4a^3b + 6 a^2 b^2 + 4a b^3 + b^4\]

好吧,那很勇敢,对吧？？你在那里看到任何图案。我能看到一些。例如,对于 \(n = 2\),我们可以将其简化为 3 项。对于 \(n = 3\) 我们可以将其简化为 4 项,对于 \(n = 4\) 我们可以将其简化为 5 项。所以总的来说,我预计对于 \(n\) 的一般幂,我们会有 \(n+1\) 项

更多图案？好吧,总有一个形式为 \(a^l b^m\) 的项,我们可以看到 \(l\) 的幂在减少,而 \(m\) 的幂在增加。但也有一些有趣的事情：如果你检查每一项,权力的总和总是 \(n\)。实际上,您将检查所有这些术语的 \(l + m = n\)。

例如,对于 \(n = 2\),您有术语 \(2 a b\)。 \(a\)的幂为1,\(b\)的幂为1,幂的和为\(1 + 1 = 2\)。或者例如,对于 \(n = 4\),你有 \(6 a^2 b^2\) 项,其中 \(a\) 的幂是 2,而 \(b\) 的幂是 2,幂的总和是 \(2 + 2 = 4\)

一般二项式定理

现在我们准备给出二项式定理的一般表达式。准备好？我们有：

\[\large (a+b)^n = a^n + {n \choose 1} a^{n-1} b + {n \choose 2} a^{n-2} b^2 + ... + {n \choose n-1} a b^{n-1} + b^n \]

其中术语 \({n \choose i}\) 读作“n 选择 i”或“组合系数”,它被定义为

\[\large \displaystyle {n \choose i}= \frac{n!}{i! \times (n-i)!}\]

例如,

\[\large \displaystyle {5 \choose 2} = \frac{5!}{2! \times (5-2)!} = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10\]

你可以用这个组合系数计算器通过查看显示的所有步骤来了解有关它的更多信息并进行练习。

使用求和的一般二项式定理

上面定义二项式定理的总和通过扩展使用符号,使这些术语更易于理解。像在数学中一样,我们试图让事情更紧凑,上面的表达式可以总结为：

\[\large \displaystyle (a+b)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} a^i b^{n-i} \]

观察展开式中项的幂。通用术语是 \(a^i b^{n-i}\)（乘以常数）。权力的总和是 \(i + (n-i) = n\)。所以展开式中所有项的幂之和必须是 \(n\)。是不是很漂亮？？？

例 1

\(x^3 y^2\) 项（乘以常数）能否成为 \((x+y)^6\) 扩展的一部分？为什么？

回答：

答案是不。在这种情况下,\(n = 6\),我们从二项式定理知道,展开式中 \(x^l y^m\) 项的幂之和必须等于 \(n\)。在这种情况下,\(l + m = 3 + 2 = 5\) 与 \(n = 6\) 不同。因此,术语 \(x^3 y^2\)（乘以常数）不能是 \((x+y)^6\) 扩展的一部分。

例2

使用二项式定理展开 \((a-b)^3\)。

回答：

等待。你一定在想“你刚刚教我如何扩展 \((a+b)^n\),但现在你问我 \((a-b)^n\)。你为什么这么残忍”。坚持,稍等。我不是在捉弄你。

总有一个技巧（不要忘记那条线,它经常出现在数学中）。

观察到 \(a - b\) 与 \(a + (-b)\) 相同。

Ahhhhhhh,所以二项式定理仍然适用。那么：

\[\large (a-b)^3 = (a+(-b))^3 = a^3 + {3 \choose 1} a^2 (-b) + {3 \choose 2} a (-b)^2 + (-b)^3 \] \[\large \displaystyle = a^3 - \frac{3!}{1! \times 2!} a^2 b + \frac{3!}{2! \times 1!} a b^2 -b^3 \] \[\large \displaystyle = a^3 - \frac{6}{1 \times 2} a^2 b + \frac{6}{2 \times 1} a b^2 -b^3 \] \[\large = a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 -b^3 \]