如何使用这个反线性函数计算器

求函数的逆是代数中一个非常重要的概念。反函数有正式的定义,它采用不同的形式。

定义给定函数 \(y = f(x) \) 的反函数的一种常用方法是,对于适当集合中的所有 \(x\),如果 \(f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x\),\(f^{-1}(x)\) 是反函数。

现在,计算一个函数的逆通常不一定是简单的代数练习,因为它通常涉及 求解 x 从原始函数 \(y = f(x) \) 开始,这在代数上可能是困难的或不可能的。

但是,当你处理一个 线性函数 \(y = ax + b\) 的形式,那么它变得更直接 求解 x 最后找到逆。

你如何找到线性函数的逆？

首先,您从 \(y = ax + b\) 形式的有效线性函数开始。你的首要任务是 求解 x ：

\[ax = y-b\] \[\Rightarrow x = \frac{y-b}{a}\]

现在,您将做出的敏锐观察是,"如果 \(a = 0\) 会发生什么",您将是对的。 \(a = 0\) 时存在问题,在这种情况下,您无法求解 \(x\),并且没有逆。

事实上,当 \(a = 0\) 原来的初始函数实际上是 \(f(x) = b\),它是一个常数,不是单射的,所以没有办法唯一地链接图像和原图像。

但是如果\(a \ne 0\),我们都在做生意。现在,将 \(x\) 替换为 \(f^{-1}(x)\) 并将 \(y\) 替换为 \(x\),你所拥有的是实际的反函数：

\[\Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}\]

如何使用这个计算器

通过简单地放置一个 \(y = ax + b\) 形式的有效线性函数来找到带步长的线性函数的逆函数。

如果你提供了一个有效的线性函数,计算器会告诉你所有需要的步骤,你会得到一个 原函数图 和它的逆,如果逆存在的话。

请注意,此计算器仅适用于线性函数。计算非线性函数的逆可能更困难,而且并非总是可行。

例子

求下列线性函数 \(y = 3x - 2\) 的反函数。

回答：

为了找到所提供的线性函数的反函数,需要执行以下步骤。

第 1 步 - 求解 x ：找到所提供的线性方程的逆的第一步是求解 \(x\)：

我们得到了以下等式：

\[\displaystyle y=3x-2\]

将 \(x\) 放在左侧,将 \(y\) 和常数放在右侧,我们得到

\[\displaystyle 3x = y + 2\]

现在,求解\(x\),得到以下结果

\[\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\]

并简化所有需要简化的术语,我们最终得到以下

\[\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\]

因此,根据提供的方程,我们得出结论,从给定方程求解\(x\)的结果是\(\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\)。

第 2 步 - 切换变量的角色 ：现在,为了找到反函数,我们只需将前面等式中的 \(y\) 的值换成 \(x\) 和 \(x\) 的值换成 \(f^{-1}(x)\),这样就可以得到至：

\[\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\]

结论 ：根据提供的方程,发现原来传入的线性函数\(y=3x-2\)的逆是\(\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\)。