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半衰期概念背后的想法是找出函数将其值减半所需的时间。

这个概念的强烈动机是 放射性衰变 ,其中放射性物质呈指数衰减,并且对于每种特定的放射性物质,其含量每隔一定年数就会减少一半。这段时间是半衰期

一般来说,如果我们考虑一个指数衰减函数：

\[f(t) = A_0 b^{-kt}\]

我们希望可以看到 \(f(0) = A_0\),我们希望找到 \(h\) 以便 \(f(h) = A_0/2\)。为此,我们注意到

\[\displaystyle \frac{A_0}{2}= f(h) = A_0 b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2} = \ln\left(b^{-kh}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -kh \ln b\]\ \[\Rightarrow \displaystyle h = \frac{\ln 2}{k\ln b}\]

如果你必须从它经过的两个点找到指数函数怎么办？

在这种情况下,我们需要解决：

\[y_1 = A_0 b^{-kt_1}\] \[y_2 = A_0 b^{-kt_2}\]

并求解 \(A\) 和 \(k\),然后直接应用上述公式求半衰期 \(h\)。

你如何计算半衰期？

半衰期是通过代数计算函数减少一半所需的时间来计算的,如上一节所示。对于大多数函数,函数减少一半所需的时间取决于起点。

但是对于具有指数衰减的函数,函数将其值减半所需的时间与起点无关。

你如何使用半衰期计算衰变？

自然,衰减率和指数衰减函数本身与半衰期密切相关。事实上,假设半衰期 \(h\) 是已知的,而 \(A_0\) 是初始量（在 \(t = 0\) 处）。那么,指数衰减函数可以写成：

\[f(t) = A_0 \cdot 2^{-t/h}\]