加法交换性质
加法的交换性是对数学做出的重要假设之一,您可能认为这是理所当然的,并且一直在使用而不知道。
交换性的思想围绕着运算的顺序。问题是,我有吗
\[\large a + b = b + a\]对于任何数字 \(a\) 和 \(b\)？对你来说,这可能是一个愚蠢的问题。就像“当然,你是什么意思”。但是交换性并不适用于所有操作。但它恰好适用于数字的常见加法。
加法的交换性有什么证明吗？从技术上讲不是,因为它是实数作为代数域的公理。
然而,但了解加法如何运作,很容易同意交换性是有道理的,因此,我们接受了公理。
例如,认为 \(3 + 4\) 与 \(4 + 3\) 是一样的,这完全合乎情理。那是为什么？？由于我们在头脑中进行加法的方式：这就像数 3（例如,使用手指）然后我们数 4。
所以我们推断我们最终会数出相同数量的手指,即使我们先数了 4 次,然后数了 3 次。
这是一个很好的看待它的方式。从中得到的概念是,交换性是不被授予的,一些操作会有它,而另一些则不会。
其他具有可交换性的操作
交换性是普遍的吗？是的,差不多。但并非所有操作都有它。即使是普通的。例如,数字的乘法是可交换的。这个,我们有那个
\[\large a\cdot b = b \cdot a\]对于所有实数 \(a\) 和 \(b\)。很好,这意味着交换性适用于所有常见操作？不是全部。例如,数字的减法和除法都不是可交换的。确实,一般来说
\[\large a - b = \not b - a\]并且该等式仅在 \(a = b\) 时成立。例如,\(3 - 1 = 2\) 和 \(1 - 3 = -2\) 不相等。因此,数字的减法不是可交换的。惊讶？好吧,现在你知道了。
此外,对于除法,我们一般有
\[\large a / b = \not b / a\]并且该等式仅在 \(a = b\) 时成立。例如,\(6 / 3 = 2\) 和 \(3 / 6 = 1/2\) 不相等。所以,数的除法不是可交换的。
例 1
考虑以下实数 \(a\) 和 \(b\) 之间的运算：
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b\]这个操作是可交换的吗？
回答：
由于实数的加法和乘法是可交换的,我们有
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b = b \cdot a + b + a = b \odot a \]这意味着操作 \(\odot\) 是可交换的。
例2
现在考虑实数 \(a\) 和 \(b\) 之间的以下运算：
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b\]这个操作是可交换的吗？
回答：
请注意
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b \] \[\large b \odot a = b\cdot a + b + 2a \]那么
\[\large a \odot b - b \odot a = a\cdot b + a + 2b - (b\cdot a + b + 2a) \] \[\large = a\cdot b + a + 2b - b\cdot a - b - 2a\] \[\large = a\cdot b + a + 2b - a\cdot b - b - 2a\] \[\large = a + 2b - b - 2a\] \[\large = b - a\]一般不为零。因此,这意味着操作 \(\odot\) 现在不是可交换的。
更多关于加法的交换性质
所以,对于数的加法,以及数的乘法,交换性似乎非常明显。但是,它是否适用于我们能想到的所有操作？快速回答：绝对不是。
我们不需要走得太远去寻找非可交换操作的例子。例如,让我们考虑矩阵的乘法。您可能对此感到惊讶,但矩阵的乘法不是可交换的。
换句话说,您可以拥有 \(A\) 和 \(B\) 矩阵,其中 \(A \cdot B = \not B \cdot A\)。不相信？看看：考虑
\[\large A = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] , B = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \]那么在这种情况下,我们有
\[\large A \cdot B = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 &3 \end{matrix}\right] \]和
\[\large B \cdot A = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix}\right] \]这表明 \(A \cdot B = B \cdot A\) 通常不是真的。