关联属性是那些很少谈论的属性之一,因为它被认为是理所当然的,并且一直在使用,却不知道。关联属性与我们在操作两个以上的操作数时首先处理的操作数有关,以及在操作的最终结果方面,我们首先操作哪些操作数并不重要。

结合属性是代数的基石,它是我们日常进行的大多数运算的基础,即使不知道也是如此。做没有结合性质的代数,虽然可能,但相当困难。在数学中有一些结构,其中结合性不被假定为真的,但这些结构要有限得多。

在结合属性的核心,我们需要先了解操作的概念。无需太技术化,操作“\(\circ\)”只是一种在特定集合 \(E\) 上获取两个元素 \(a\) 和 \(b\) 的方法,并用它们做“某事”以在集合 \(E\) 中创建另一个元素 \(c\)。

那么,你拿 \(a\) 和 \(b\),你操作它们,你得到 \(c\)。这样的动作可以在数学上表示为 \(a \circ b = c\)。

重要的是要注意您操作了两个元素,\(a\) 和 \(b\),以获得 \(c\)。我再次强调,你操作了两个元素,\(a\) 和 \(b\)。到现在为止还挺好。那么,问题来了,如果你想操作三个元素怎么办。好吧,你不能,毕竟操作需要两个元素,所以你会用第三个做什么。或者你可以吗？

那么,如果你先操作其中的两个,然后用操作前两个元素的结果来操作第三个呢？是的,这是可以做到的。因此,假设您有三个元素 \(a\),\(b\) 和 \(c\),并且您想要操作它们。一种方法是先操作\(a\)和\(b\),然后用\(c\)操作结果。那将是 \((a\circ b)\circ c\)。

注意那里的括号。这是有原因的。通过写 \((a\circ b)\circ c\),你是说你首先操作 \(a\) 和 \(b\),然后你操作 \(c\)。很公平。这看起来是操作 \(a\),\(b\) 和 \(c\) 的一种令人满意的方式。但这是唯一的方法吗？如果我先操作 \(b\) 和 \(c\),然后我操作 \(a\) 的结果是 \(b\) 和 \(c\)。你可以把它写成 \(a\circ (b\circ c)\)。

现在最大的问题是：如果我以上面显示的方式操作这三个元素,是否相同。如果我操作前两个并用第三个操作结果,或者如果用其他两个操作的结果操作第一个元素,我得到的最终结果是否相同？或者简单地说,\((a\circ b)\circ c\) 与 \(a\circ (b\circ c)\) 是否相同。亲爱的朋友,答案取决于操作是否具有关联性。

定义： 操作 \(\circ\) 是关联的,如果对于任何三个元素 \(a\),\(b\) 和 \(c\),我们有

并非所有操作都满足这种关联属性,大多数操作都满足,但有些操作不满足。最常见的运算,即我们所知道的,确实满足结合性,例如求和或乘法

例 1

检查一些数字以说服自己,公共和“\(+\)”满足关联性。

回答：

例如,让我们考虑 3 个数字：\(8\),\(4\) 和 \(7\)。让我们检查一下这些数据是否满足关联性。请注意：

另一方面,我们有

因此,在这种情况下 \((8 + 4) + 7 = 8 + (4 + 7)\)。

用于定义具有两个以上操作数的操作的关联属性

因此,并非所有操作都是关联的,但我们知道的大多数操作都是关联的。当满足结合性时,我们可以毫不含糊地定义两个以上操作数的操作。为了简单起见,我们简单地写成 \(a \circ b \circ c\),不带括号,因为由于结合性属性,我们知道我们如何对操作数进行分组并不重要,我们将得到相同的最终运算结果。

示例 2

让我们定义以下操作：

这个操作是关联的吗？

回答：

请注意

另一方面,我们有

因此,\(\left( a\circ b \right)\circ c = a\circ \left( b\circ c \right) \) 并不总是正确的。因此,操作“\(\circ\)”不是关联的。