样本方差

样本方差 \(s^2\) 是衡量分布离散度最常用的方法之一。给定一个数据样本 \(X_1, X_2, ...., X_n\),样本方差衡量的是样本值相对于样本均值的离散度。

如何计算样本方差？

更具体地说,样本方差的计算公式如下：

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \]

上述公式有 平方和 顶部是\( \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \),底部是自由度数\(n-1\)。

使用上述公式的方法很简单：

• 设置一个表格,其中一列用于给定数据\(X_i\)
• 计算样本平均值\(\bar X\)
• 将样本均值放在 \(X_i\) 数据旁边的一列中（将样本均值放在样本的每个项旁边）
• 构造一列,计算样本数据和样本平均值的减法：\(X_i - \bar X\)
• 构造一列,计算上一列的平方：(\(X_i - \bar X\))^2
• 将最后一列的值相加
• 将得到的结果除以\(n-1\)。

如何使用 excel 计算样本方差？

请注意,你需要 计算样本均值 为了使用上述公式,首先要计算 \(\bar X\)。您可以使用 Excel 中的 =VAR() 函数,但我们的优势在于它是一个有步骤的方差计算器。另外,请注意,如果对方差求平方根,得到的就是样本标准差。

更具操作性的形式

人们抱怨说,为了计算方差,他们需要先计算样本均值,然后再计算偏差等等。但是,有没有一种方法可以立即计算样本方差,而无需计算样本均值呢？

当然有。人们常常认为他们需要使用 均值和方差公式 强制性的,但事实并非如此。你可以查看下面直接计算样本方差的方法,而无需计算样本均值

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)^2 \right) \]

样本方差有用的原因

• 对于较大的样本量,样本方差可以很好地估计总体方差

您可能需要的描述统计计算器

如果您想逐步计算所有描述统计数据,您可以尝试我们的 描述性统计计算器 ,它将为您提供所有最常见的描述统计数据,其中集中趋势和离散度的测量显示了计算的所有步骤。

此外,如果您对相对色散（而不是绝对色散）感兴趣,您可以使用我们的 变异系数计算器 ,告诉你分散度有多大 相对于平均值 为什么需要这个？因为标准差代表了绝对离差。但离差的大小只与它相对于平均值的大小有关。

应用示例

问题 ：对于给定的样本数据：3,4,2,3,1,4,4,4,7,8,9,12,2,3,13,18,计算样本方差。

解决方案：

我们需要计算样本方差。以下是已提供的样本数据：

\(X\)
3
4
2
3
1
4
4
4
7
8
9
12
2
3
13
18

现在,我们需要对所有样本值进行平方,如下表所示：

观察：	\(X\)	\(X^2\)
1	3	9
2	4	16
3	2	4
4	3	9
5	1	1
6	4	16
7	4	16
8	4	16
9	7	49
10	8	64
11	9	81
12	12	144
13	2	4
14	3	9
15	13	169
16	18	324
Sum =	\(97\)	\(931\)

因此,样本方差的计算方法如下：

\[ \begin{array}{ccl} s^2 & = & \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{16 - 1} \left( 931 - \frac{97^2}{16} \right) \\\\ \\\\ & = & 22.8625 \end{array}\]

因此,根据提供的数据,样本方差为\(s^2 = 22.8625 \)。