Алгебра Учебники

Геометрические последовательности

A Геометрическая Последовательность — это последовательность чисел, обладающая тем свойством, что соотношение между двумя последовательными элементами является постоянным, равным определенному значению \(r\). Это значение также известно как общее соотношение.

В реальной задаче вам будет дано начальное значение \(a\) и постоянное соотношение \(r\), которое сохраняется между последовательными значениями в последовательности. Вашей задачей будет вычислить геометрическую последовательность используя данную информацию.

Как решить геометрическую прогрессию?

Предположим, что первый член — \(a\). Затем следующий термин — \(a r\), а следующий — \(ar^2\). И так далее.

Другими словами, мы начинаем с первого термина \(a\), а следующий термин всегда находится путем умножения предыдущего термина на \(r\).

Итак, первый термин — \(a_1 = a\).

Второй термин — \(a_2 = a r\).

Третий термин — \(a_3 = a r^2\).

Формула геометрической последовательности

Если посмотреть на приведенный выше пример, то получается, что начальное значение \(a\) умножается на дополнительный \(r\) на каждом шаге. Следовательно, общий н ^й термин

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

Это означает, что, пройдя вперед \(n\) шагов, мы получим, что соответствующий номер в последовательности — \( a_n = a r^{n-1}\). Это формула шаблона геометрического ряда, и все, что вам нужно, это подставить в формулу значения \(a\) и \(n\).

Итак, как найти n-й член геометрической прогрессии?

Подводя итог, чтобы найти n-й член геометрической последовательности, вам нужны две части информации для определения геометрической последовательности: вам нужен начальный член \(a\) и постоянное соотношение \(r\).

Затем последовательные члены геометрической прогрессии получаются умножением предыдущего члена на \(r\). Например, 3, 6, 12, 24,... — это геометрическая последовательность, поскольку начальное значение — \(a = 3\), а затем каждое последующее значение получается умножением предыдущего значения на \(r = 2\).

Также, например, вы можете спросить себя, какое правило имеет число 1 2 4 8 16 и является ли оно геометрической последовательностью. Итак, у нас исходное значение — \(a = 1\), а каждое следующее значение получается умножением предыдущего значения на \(r = 2\).

ПРИМЕР 1: Пример геометрической последовательности

Найдите шестой член геометрической прогрессии с начальными членами \(10\) и \(r = 1/2\).

Отвечать:

Итак, как ты вычислить геометрическую последовательность ? На основе предоставленной информации у нас есть достаточно информации, чтобы определить геометрическую последовательность. Действительно, у нас есть первый член \(a = 10\) и постоянное соотношение \(r = 1/2\).

Генерал н ^й термин

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

итак, тогда 6 ^й термин

\[\large \displaystyle a_{10} = a r^{6-1} = 10 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \] \[\large = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]

Может ли общее отношение быть отрицательным?

Да, конечно. Постоянное соотношение \(r\) может быть отрицательным. Например, у нас может быть геометрическая последовательность с начальным членом \(a_1 = 1\) и постоянным соотношением \(r = -2\). Итак, второй термин — \(a_2 = 1 \cdot (-2) = -2\), \(a_3 = (-2) \cdot (-2) = 4\) и так далее.

Итак, действует то же самое правило: чтобы получить следующий член, мы умножаем предыдущий член на постоянный коэффициент \(r\), даже если постоянный коэффициент отрицательный.

Пример 2

Найдите пятый член геометрической прогрессии с начальными членами \(3\) и \(r = -2\).

Отвечать:

У нас достаточно информации, чтобы определить геометрическую последовательность, потому что у нас есть первый член \(a_1 = 3\) и постоянное соотношение \(r = -2\).

Генерал н ^й член (с отрицательным постоянным коэффициентом) равен

\[\large a_n = a r^{n-1} = 3 \cdot (-2)^{n-1}\]

итак, тогда 5 ^й термин

\[\large \displaystyle a_{5} = a r^{5-1} = 3 \cdot (-2)^{5-1} = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48\]

Вы можете воспользоваться нашим Калькулятор формулы геометрической последовательности чтобы дважды проверить то, что вы нашли выше, а именно калькулятор явных формул.

Пример 3

Рассмотрим последовательность 1, 1/2, 1/4, 1/16... Является ли эта последовательность геометрической?

Отвечать:

Чтобы данная последовательность была геометрической, ее члены должны иметь общее соотношение. В этом случае, разделив второе слагаемое на первое, мы получим \((1/2)/1 = 1/2\).

Тогда, если мы разделим третье на второе слагаемое: \((1/4)/(1/2) = 1/2\). Все идет нормально.

Теперь, если мы разделим четвертое слагаемое на третье: \((1/16)/(1/4) = 1/4\). Это терпит неудачу. Это не геометрическая прогрессия, так как она не имеет общего отношения (для первых двух членов соотношение равно 1/2, но затем оно равно 1/4, поэтому оно не является постоянным).

Следовательно, последовательность НЕ является геометрической последовательностью.

Подробнее о геометрических последовательностях

Изюминка, которую вам нужно иметь в виду. Какова формула геометрической прогрессии? Простой

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

где \(a\) — начальный член, а \(r\) — постоянное соотношение (или обычное соотношение, как его еще называют).

Вы можете использовать несколько калькуляторов, связанных с концепцией геометрической последовательности или геометрическая прогрессия , как его еще называют.

• Сначала вы можете проверить наш Калькулятор суммы бесконечной геометрической прогрессии , который суммирует бесконечные члены геометрической прогрессии. Эта сумма будет корректно определена (сойдется), если постоянное соотношение таково, что \(|r| < 1\).

• Кроме того, вы захотите использовать наш Калькулятор суммы геометрической последовательности , который вычисляет сумму членов геометрической последовательности, вплоть до определенного конечного значения. Эта сумма корректно определена без условий на постоянное отношение \(r\) при условии, что мы суммируем до конечного члена последовательности.