Ассоциативное свойство - одно из тех свойств, о котором не так много говорят, потому что оно принимается как должное и используется постоянно, не зная. Свойство ассоциативности связано с тем, какие операнды мы обрабатываем первыми, когда оперируем более чем двумя операндами, и как не имеет значения, какие операнды мы оперируем первыми, с точки зрения конечного результата операции.

Свойство ассоциативности является краеугольным камнем алгебры, и оно лежит в основе большинства операций, которые мы проводим ежедневно, даже не зная об этом. Заниматься алгеброй без ассоциативности, хотя и возможно, но довольно сложно. В математике есть структуры, в которых ассоциативность не предполагается истинной, но они гораздо более ограничены.

В основе ассоциативного свойства нам сначала нужно понять идею операции. Не вдаваясь в технические подробности, операция "\(\circ\)" - это просто способ взять два элемента \(a\) и \(b\) на определенном наборе \(E\) и "что-то" сделать с ними, чтобы создать другой элемент \(c\) в наборе \(E\).

Итак, вы берете \(a\) и \(b\), управляете ими и получаете \(c\). Математически такое действие можно представить как \(a \circ b = c\).

Важно отметить, что вы использовали ДВУХ элементах, \(a\) и \(b\), чтобы получить \(c\). Я снова делаю акцент, вы управляете ДВУМЯ элементами, \(a\) и \(b\). Все идет нормально. Итак, вопрос, что, если вы хотите управлять тремя элементами. Ну нельзя же, ведь операции берут ДВА элемента, так что бы вы сделали с третьим. Или можно?

Ну, а что, если вы сначала управляете двумя из них, а затем вы управляете третьим с результатом работы первых двух элементов? Да, это можно сделать. Итак, предположим, что у вас есть три элемента \(a\), \(b\) и \(c\), и вы хотите ими управлять. Один из способов - сначала обработать \(a\) и \(b\), а затем обработать результат с \(c\). Это будет \((a\circ b)\circ c\).

Обратите внимание на круглую скобку. На это есть причина. Написав \((a\circ b)\circ c\), вы говорите, что сначала вы оперируете \(a\) и \(b\), а ЗАТЕМ вы оперируете \(c\). Справедливо. Это похоже на удовлетворительный способ работы с \(a\), \(b\) и \(c\). Но разве это единственный способ? Что, если я сначала оперирую \(b\) и \(c\), а ТОГДА я оперирую \(a\) с результатом работы \(b\) и \(c\). Вы бы написали это как \(a\circ (b\circ c)\).

Теперь большой вопрос: будет ли то же самое, если я буду управлять этими тремя элементами способами, показанными выше. Получу ли я тот же конечный результат, если оперирую первыми двумя, а результат оперирую третьим, или если оперирую первым элементом с результатами работы двух других? Или просто \((a\circ b)\circ c\) то же самое, что \(a\circ (b\circ c)\). Дорогие друзья, ответ зависит от того, ассоциативна ли операция.

Определение: Операция \(\circ\) ассоциативна, если для любых трех элементов \(a\), \(b\) и \(c\) мы имеем

Не все операции удовлетворяют этому ассоциативному свойству, большинство удовлетворяет, но некоторые нет. Наиболее распространенные операции, известные нам, действительно удовлетворяют ассоциативности, такие как сумма или умножение.

ПРИМЕР 1

Проверьте несколько чисел, чтобы убедиться, что ассоциативность встречается для общей суммы "\(+\)".

ОТВЕЧАТЬ:

Например, рассмотрим 3 числа: \(8\), \(4\) и \(7\). Проверим, соблюдается ли ассоциативность этих данных. Заметить, что:

С другой стороны, у нас есть

Следовательно, в данном случае \((8 + 4) + 7 = 8 + (4 + 7)\).

Ассоциативное свойство, используемое для определения операций с более чем двумя операндами

Итак, не все операции ассоциативны, но большинство известных нам таковыми. Когда соблюдается ассоциативность, мы можем без двусмысленности определить работу более двух операндов. Чтобы упростить задачу, мы просто пишем \(a \circ b \circ c\) без скобок, потому что благодаря свойству ассоциативности мы знаем, что не имеет значения, как мы группируем операнды, мы получим тот же окончательный результат операции.

ПРИМЕР 2

Определим следующую операцию:

Эта операция ассоциативна?

ОТВЕЧАТЬ:

Заметить, что

С другой стороны, у нас есть

Следовательно, не всегда верно, что \(\left( a\circ b \right)\circ c = a\circ \left( b\circ c \right) \). Следовательно, операция "\(\circ\)" не ассоциативна.