Коммутативная собственность
Свойство коммутативности - одно из тех свойств алгебраических операций, на которое мы не обращаем внимания, потому что обычно это считается само собой разумеющимся. Свойство коммутативности связано с порядком операции между двумя операндами, и тем, что не имеет значения, в каком порядке мы их оперируем, мы получаем тот же конечный результат операции.
Свойство коммутативности - один из краеугольных камней алгебры, и мы постоянно пользуемся им, даже не подозревая об этом. Это даже в нашем сознании, не зная, когда мы используем для получения "порядок факторов не влияет на продукт".
Прежде всего, нам нужно понять концепцию работы. С математической точки зрения операция "\(\circ\)" - это просто способ взять два элемента \(a\) и \(b\) на определенном наборе \(E\) и "что-то" сделать с ними, чтобы создать другой элемент \(c\) в наборе \(E\).
Итак, когда вы берете два элемента \(a\) и \(b\) в набор, вы управляете ими с помощью операции "\(\circ\)" и получаете \(c\). Вы пишете это математически как \(a \circ b = c\).
Определение: Операция \(\circ\) коммутативна, если для любых двух элементов \(a\) и \(b\) мы имеем
\[ a\circ b = b \circ a\]Обратите внимание, что не все операции удовлетворяют этому свойству коммутативности, хотя большинство обычных операций удовлетворяет этому свойству, но не все из них. Действительно, сложение и умножение удовлетворяют свойству коммутативности, а вычитание и деление - нет.
ПРИМЕР 1
Очень похоже на то, что обычное вычитание "\(-\)" не коммутативно.
ОТВЕЧАТЬ:
Действительно, давайте рассмотрим числа: \(8\) и \(4\). Обратите внимание:
\[ \large 8 - 4 = 4 \]в то время как
\[ \large 4 - 8 = -4 \]Итак, \(8 - 4\) не равно \(4 - 8\), что означает, что вычитание "\(-\)" не коммутативно.
ПРИМЕР 2
Определим следующую операцию:
\[ \large a\circ b = ab+a+b \]Коммутативна ли эта операция?
ОТВЕЧАТЬ:
Заметьте, что
\[ a \circ b = ab+a+b\]С другой стороны, мы также получаем, что
\[ b \circ a = ba+b+a = ab + a + b\]потому что и обычное сложение, и умножение коммутативны. Итак, мы видим, что \(a \circ b = b \circ a\). Следовательно, операция "\(\circ\)" коммутативна.
Подробнее о коммутативности
Коммутативность - это то свойство, которое вы, вероятно, использовали, не задумываясь, много-много раз. Вы получаете это с младших школьных лет, как колыбельную: "порядок факторов не меняет продукт". И я думаю, это работает, потому что прилипает. Если они сказали вам, что "умножение - это коммутативная операция", и держу пари, это будет меньше.
Главное - не перепутать ассоциативность с коммутативностью. Когда мы говорим об ассоциативности, мы имеем в виду, что с какой бы парой мы ни работали первой, это не имеет значения. То есть не то же самое как сказать, что порядок операции не имеет значения, что является свойством ассоциативности.
Почему важно свойство коммутативности?
В коммутативная собственность очень важен, потому что он обеспечивает уровень гибкости при вычислении операций, которого у вас не было бы в противном случае. Существуют математические структуры, которые не полагаются на коммутативность, и даже обычные операции (такие как вычитание и деление) не удовлетворяют ей. Итак, коммутативность - полезное свойство, но оно не всегда выполняется.