Разложение частичного фракции - это метод, используемая для создания интеграции, проще, путем разложения трудно интегрировать функцию в сумму нескольких функций, которые легче интегрироваться.

Часто использование частичных фракций является единственным возможным способом вычисления интеграла, что иначе не было бы невозможно решить.

В частности, эта техника применяется, когда нам нужно интегрировать кого-то двух полиномов \(P(x)\) и \(Q(x)\).Это, нам нужно вычислить.

Например, скажем, что \(P(x) = x^2 - 2\) и \(Q(x) = x^3 - 7x + 6\), поэтому интеграл фактического из этих двух полиномов будет:

Как черт возьми, вы решите, что вы можете подумать ..... с первого взгляда это выглядит неразрешимо, и это если вы не следуете правильному подходу.

К счастью, каждый раз, когда вы пытаетесь интегрировать кого-то из двух полиномов, независимо от того, насколько сложны эти полиномы, всегда есть способ уменьшить интеграл в кучу легко решить интеграл.

Только, чтобы сделать это, нам нужно заранее выпустить какую-то алгебраическую работу, но разделив два полинома и решение некоторой линейной системы.

Это небольшая цена для оплаты, чтобы решить и в противном случае невозможно решить интеграл, верно?Пожалуйста скажи да.

Пример 1.

Позвольте мне дать вам тизер.Не могли бы вы пойти дальше и интегрировать это?

Хммм ..... не могли бы вы?Ну, это не выглядит легко или даже возможно.Что если я тебе сказал, что

Итак, фракция, которую вы хотите интегрировать, были разлагаются на три частичные фракции И каждая из этих частичных фракций на самом деле легко интегрироваться.Действительно, использование вышеупомянутого разложения приводит нас к

Итак, вы можете договориться со мной, что разложение решало проблему, потому что после того, как, познавая разложение, проблема интеграции была снижена до трех очень простых интегралов.

Теперь вы узнаете, как сделать такое разложение.

Как сделать частичные фракции разложения?

Шаг 1

Прежде всего, эта техника работает только тогда, когда вы хотите интегрировать кого-то двух полиномов.Это, вы хотите интегрировать

где \(P(x)\) и \(Q(x)\) являются полиномами. МИ ВСЕГДА МОЖЕМ ПРЕДПОЛЬЗОВАТЬ, ЧТО ПОЛОЖЕ \(Q(x)\) Больше, Чем Порядок \(P(x)\) Отказ

Если это не так, и порядок \(P(x)\) больше, чем порядок \(Q(x)\), то вы можете использовать теорему разделения полиномов, чтобы получить

где \(M(x)\) и \(R(x)\) - многономы, а порядок \(R(x)\) ниже, чем порядок \(R(x)\), что будет означать, что

Итак, тогда задача интеграции \(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\) снижается до задачи интеграции многочлена \(M(x)\) (которая является тривиальной) и интегрируя к созванию полиномов \(\displaystyle\frac{R(x)}{Q(x)}\), где полиномиал в числетеле имеет более низкий уровень, чем тот, который находится в знаменателе.

Шаг 2

Вам нужно найти корни полинома в знаменателе \(Q(x)\) и проводить разложение в линейных и квадратичных терминах с множеством и описанным фундаментальной теоремой алгебры.

Этот шаг требует немного знания алгебры.Предположим, что \(Q(x)\) - многочлена порядка \(n\).Поэтому нам нужно решить \(Q(x) = 0\), а в соответствии с фундаментальной теоремой алгебры, будет точно \(n\) корни, может быть, все реально, но, возможно, некоторые сложные.Кроме того, для каждого корня есть определенная множественность (количество раз, когда корень повторяется)

С этими корнями мы разложим \(Q(x)\).Для каждого Real Coot __xxyz_b__ соответствующий фактор в разложении \((x-\alpha)\).Если есть множественность \(k\) для этого корня (это, это, корню повторяется \(k\) Times), фактор в разложении будет \((x-\alpha)^k\).

Теперь немного сломлен, когда есть сложный корневой \(c\).В этом случае всегда будет конъюгатный сложный корень, \(\bar c\), и сгруппировка вместе, мы получим квадратичное выражение \((x-c)(x - \bar c) = (x^2 + ax + b)\) с реальными коэффициентами.

Если этот сложный корню имеет множественность \(k\), фактор будет \((x^2 + ax + b)^k\).

Шаг 3

Возьмите факторы, которые вы нашли на шаге 2. Для каждого из факторов вы создадите некоторые термины, которые будут способствовать сумме частичных фракций.

Для каждого фактора формы \(x + a\): добавьте термин \(\displaystyle \frac{A}{x+a}\)

Для каждого фактора формы \((x + a)^k\): добавить условия \(\displaystyle \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_2}{(x+a)^2} + ... + \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_k}{(x+a)^k}\)

Для каждого фактора формы \(x^2 + ax + b\): добавьте термин \(\displaystyle \frac{A + B x}{x^2+ax+b}\)

Для каждого фактора формы \((x^2 + ax + b)^k\): добавить условия \(\displaystyle \frac{A_1 + B_1 x}{x^2+ax+b} + \frac{A_2 + B_2 x}{(x^2+ax+b)^2} + ...+ \frac{A_k + B_k x}{(x^2 + ax + b)^k} \)

Шаг 4.

Добавьте эти частичные фракции вместе и приравнивайте его к кожуру __xxyz_a__ и используйте это, чтобы найти все неизвестные константы \(A_i\) и \(B_i\), которые были созданы на шаге 3.

Шаг 5.

После того, как вы нашли константы на шаге 4, вы разложили Qualient \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\), на несколько терминов, которые могут быть интегрированы через logarithm, или вам нужно сделать простое изменение переменных.

И вы обменяли решение невозможно решить интеграл для возможно большого количества меньшего количества меньших, частичных фракций, которые намного проще интегрируют, после длительного алгебраического осуществления выносливости.

Пример 2.

Интегрировать следующие с использованием частичных фракций

ОТВЕЧАТЬ:

Терпеливо, нам нужно пройти все шаги.

Шаг 1

В этом случае __xxyz_a__ и \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), поэтому порядок \(P(x)\) - 1, а порядок __xxyz_d__ равно 2. Следовательно, условие выполняется, поскольку порядок \(P(x)\) меньше, чем порядок \(Q(x)\).

Шаг 2

Давайте найдем корни \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), поэтому нам нужно решить

Итак, корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -3\).Тогда факторы \((x-1)\) и \((x+3)\).Соблюдайте, что \(Q(x) = x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)\)

Шаг 3

Для фактора \((x-1)\) мы добавляем частичную фракцию \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) и для фактора \((x+3)\) мы добавляем частичную фракцию \(\displaystyle \frac{B}{x+3}\).

Шаг 4.

Теперь добавляем все частичные фракции и приравниваем их оригинальным фактором полиномов, чтобы решить для постоянных \(A\) и \(B\):

Соблюдайте, что последнее равенство указывает на то, что полиномиальный слева такой же, как полиномиальный справа, для всех __xxyz_a__.Итак, их коэффициенты должны быть равными.

Это означает, что \(A+B = 1\) и \(3A - B = 0\).От этого последнего, \(B = 3A\), так что __xxyz_d__, что означает __xxyz_e__ так \(A = 1/4\) и \(B = 3/4\).

Таким образом, мы приехали в наши частичные фракции расширение:

Шаг 5.

Теперь вы можете наслаждаться интеграцией с легкостью:

Пример 3.

Интеграция следующего термина с использованием частичных дезолизаций фракций

ОТВЕЧАТЬ:

Опять же, нам нужно пройти все шаги.

Шаг 1

В этом случае __xxyz_a__ и \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), поэтому порядок \(P(x)\) равно 0, а порядок __xxyz_d__ равно 3. Следовательно, условие выполняется, поскольку порядок \(P(x)\) меньше, чем порядок \(Q(x)\).

Шаг 2

Давайте найдем корни \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), поэтому нам нужно решить

Это сложнее, потому что нет простой формулы для генеральных кубических корней (есть формула, но это не просто).Нам нужно сделать трюк:

Таким образом, у нас есть что \(x^2 + 1=0\) или \(x-1 = 0\).Следовательно, корни \(x_1 = 1\), \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\).Тогда \(x_1\) настоящий, \(x_2\) и \(x_3\) - сложные сопряженные корни.

У корни \(x_1 = 1\) есть фактор \((x-1\), а комплексные конъюгатные корни \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\) имеют фактор \((x-i)(x+i) = (x^2+1)\).

ШАГ 3.

Для фактора \((x-1)\) my добавляем Частичная фактора \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) и для фактора

Шаг 4.

Тепер добавляем все частичные фракции и приравниваем их оригинальный факторой полейнов

Соблюдайте,что последнее равенство указывает на то,что полиномиальный слева такой же,как полиномиальный справа,для всех__xxyz_a__.Итак,их коэффициенты должны быть равными.

Это осначат, что \(C - B = 1\), \(A - C = 0\). От этого последонего, \(A = C\), а также \(A = -B\), поэтно мы получим это \(A = 1/2\), \(B = -1/2\) и \(C = -1/2\).

Таким образ, мы приехали в наши частичные фракции расселения:

Шаг 5.

Тепер вы можете наслаждаться интерцей с легкостью: