Упрощение радикалов
Алгебраические выражения, содержащие радикалы, очень распространены, и важно знать, как правильно обрабатывать их.Первое правило, которое нам нужно учиться, это то, что радикалы всегда могут быть преобразованы в полномочия, и это то, о чем это учебное пособие.
В этом руководстве мы собираемся научиться упрощать радикалы.
Действительно, мы все время занимаемся радикалами, особенно с \(\sqrt x\).Одна вещь, которая, может быть, мы не перестанем думать о том, что радикалы могут быть поставлены с точки зрения полномочий.
Как мне это сделать?Проверьте это.Начнем с \(\sqrt x\) первым:
\[\large \boxed{\sqrt x = x^{1/2}}\]
Так почему мы должны быть взволнованы тем, что радикалы могут быть положены в условии полномочий ??
Ответ прост: потому что мы можем использовать правила, которые мы уже знаем для полномочий, чтобы получить правила для радикалов.
Например, пусть \(x, y\ge 0\) - два неотрицательных числа.Одно правило, которое относится к радикалам,
\[\large \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]Откуда нам знать?Ну просто используя ПРАВИЛО 6 ПОКАЗАТЕЛЕЙ и определение радикала как сила.Проверьте это:
\[\large \sqrt{x\cdot y} = (x \cdot y)^{1/2} = x^{1/2} \cdot y^{1/2} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]Пример 1: Упростите следующее радикальное выражение:
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7}\]ОТВЕЧАТЬ:
На основании данного выражения, мы можем переписать элементы внутри радикала для получения
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7} = \sqrt{3^3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 \cdot 3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{(3^2 x^4 y^6) \cdot (3x y)} \] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 x^4 y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2}\sqrt{x^4}\sqrt{ y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = 3x^2y^3 \sqrt{3xy}\]Правила радикалов
Существуют правила для операционных радикалов, которые имеют много общего с экспоненциальными правилами (естественно, потому что мы только что видели, что радикалы могут быть выражены в качестве полномочий, поэтому тогда ожидается, что подобные правила будут применяться).
Правило 1: \(\large \displaystyle \sqrt{x^2} = |x| \)
Правило 2: \(\large\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
Правило 3: \(\large\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt x}{\sqrt y}\)
Скорее всего, у вас есть, так или иначе работало с этими правилами, иногда даже не зная, что вы их использовали.
Одно удельное упоминание связано с первым правилом.Часто вы увидите (или даже ваш инструктор скажут вам), что \(\sqrt{x^2} = x\), с аргументом, что "root уничтожает квадрат".В некоторой степени это утверждение верно, но это не так, что \(\sqrt{x^2} = x\).Действительно, мы можем дать счетчик пример: \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt(9) = 3\).Так что в этом случае \(\sqrt{x^2} = -x\).
На самом деле, что происходит, это то \(\sqrt{x^2} = |x|\).Это так, когда мы получаем \(\sqrt{(-3)^2} = 3\), потому что \(|-3| = 3\).
Пример 2.
Упростите следующее радикальное выражение:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^8 y^{-2}}}\]ОТВЕЧАТЬ:
Есть несколько вещей, которые нужно сделать здесь.Во-первых, мы видим, что это квадратный корень фракции, поэтому мы можем использовать правило 3. Затем есть отрицательные мощности, чем могут быть преобразованы.
Конкретно мы можем взять \(y^{-2}\) в знаменателе в числитель как \(y^2\).Затем мы можем упростить некоторые силы, чтобы мы получаем:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^2 y^{-2}}} = \sqrt{\frac{8 x^5 y^6 y^{2}}{5 x^8 }}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{\frac{2^3 y^{6+2}}{5 x^{8-5} }} = \sqrt{\frac{2^3 y^8}{5 x^3 }} \] \[\large \displaystyle = \frac{\sqrt{2^3 y^8}}{\sqrt{5 x^3 }} = \frac{2y^4 \sqrt{2}}{x\sqrt{5 x }}\]Подробнее о упрощении радикалов
Соблюдайте, что мы проанализированы и говорили о правилах радикалов, но мы рассматриваем только квадрат \(\sqrt x\).Вопрос в том, сделайте те же правила, применяемые к другим радикалам (которые не являются квадратным корнем)?Краткий ответ: Да
Просто иметь полное обсуждение радикалов, нам нужно определить радикалы в целом, используя следующее определение:
\[\large \boxed{\sqrt[n] x = x^{1/n}}\]С этим определением у нас есть следующие правила:
Правило 1.1: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = x\), когда \(n\) нечетное.
Правило 1.2: __Xxyz_a__, когда \(n\) есть даже.
Правило 2: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}\)
Правило 3: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}\)