Дисперсия выборки

Выборочная дисперсия \(s^2\) является одним из наиболее распространенных способов измерения дисперсии для распределения. Когда дана выборка данных \(X_1, X_2, ...., X_n\), выборочная дисперсия измеряет дисперсию значений выборки относительно выборочного среднего.

Как вычислить выборочную дисперсию?

Более конкретно, дисперсия выборки вычисляется, как показано в формуле ниже:

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \]

Вышеуказанная формула имеет Сумма квадратов \( \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \) вверху и число степеней свободы \(n-1\) внизу.

Использовать приведенную выше формулу просто:

• Вы создаете таблицу с одним столбцом для данных \(X_i\)
• Вычислить выборочное среднее \(\bar X\)
• Поместите выборочное среднее значение в столбец рядом с данными \(X_i\) (поместите выборочное среднее значение рядом с КАЖДЫМ членом выборки)
• Создайте столбец, в котором вы вычисляете вычитание данных выборки и выборочного среднего: \(X_i - \bar X\)
• Постройте столбец, в котором вы вычисляете квадрат предыдущего столбца: (\(X_i - \bar X\))^2
• Сложите значения этого последнего столбца
• Разделите полученный результат на \(n-1\).

Как рассчитать выборочную дисперсию с помощью excel?

Обратите внимание, что вам необходимо вычислить выборочное среднее \(\bar X\) сначала, чтобы использовать приведенную выше формулу. Вы можете вычислить дисперсию с помощью Excel, используя =ДИСП() функция, но преимущество нашей в том, что это калькулятор дисперсии с шагами. Также обратите внимание, что если вы возьмете квадратный корень из дисперсии, то получите стандартное отклонение выборки.

Более оперативная форма

Люди жалуются, что для вычисления дисперсии им нужно сначала вычислить выборочное среднее, а затем им нужно вычислить отклонения и все такое. Но есть ли способ вычислить выборочную дисперсию сразу, без вычисления выборочного среднего?

Конечно, есть. Часто люди думают, что им нужно использовать формула среднего значения и дисперсии обязательно, но это не так. Ниже вы можете проверить способ вычисления выборочной дисперсии напрямую, без вычисления выборочного среднего

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)^2 \right) \]

Причины, по которым выборочная дисперсия полезна

• Для больших размеров выборки дисперсия выборки является хорошей оценкой дисперсии совокупности

Калькуляторы описательной статистики, которые вам могут понадобиться

Если вместо этого вы хотите получить пошаговый расчет всех описательных статистик, вы можете попробовать наш калькулятор описательной статистики , который предоставит вам все наиболее распространенные описательные статистики с мерами центральной тенденции и дисперсии, показывающими все этапы расчета.

Кроме того, если вас интересует относительная дисперсия, а не абсолютная, вы можете воспользоваться нашим Калькулятор коэффициента вариации , который показывает, насколько велика дисперсия относительно среднего . Зачем вам это нужно? Потому что стандартное отклонение представляет собой то, что считается абсолютной дисперсией. Но насколько велика дисперсия, будет иметь значение только с точки зрения того, насколько она велика относительно среднего.

Пример применения

Вопрос : Для заданных данных выборки: 3, 4, 2, 3, 1, 4, 4, 4, 7, 8, 9, 12, 2, 3, 13, 18, вычислите дисперсию выборки.

Решение:

Нам нужно вычислить дисперсию выборки. Вот данные выборки, которые были предоставлены:

\(X\)
3
4
2
3
1
4
4
4
7
8
9
12
2
3
13
18

Теперь нам нужно возвести в квадрат все значения выборки, как показано в таблице ниже:

Наблюдение:	\(X\)	\(X^2\)
1	3	9
2	4	16
3	2	4
4	3	9
5	1	1
6	4	16
7	4	16
8	4	16
9	7	49
10	8	64
11	9	81
12	12	144
13	2	4
14	3	9
15	13	169
16	18	324
Sum =	\(97\)	\(931\)

Таким образом, выборочная дисперсия вычисляется следующим образом:

\[ \begin{array}{ccl} s^2 & = & \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{16 - 1} \left( 931 - \frac{97^2}{16} \right) \\\\ \\\\ & = & 22.8625 \end{array}\]

Таким образом, на основании предоставленных данных, выборочная дисперсия составляет \(s^2 = 22.8625 \).