समीकरण प्रणाली
समीकरणों की एक प्रणाली केवल दो या अधिक एक साथ समीकरणों का एक सेट है जिसे हल करने की आवश्यकता है।आम तौर पर, आपके पास समान संख्या में समीकरणों और अज्ञात (चर) होंगे, लेकिन यह मामला नहीं होना चाहिए।
एकमात्र चीज जो स्पष्ट है कि समीकरणों की एक प्रणाली रखने के लिए आपको दो या अधिक एक साथ समीकरणों की आवश्यकता है।उदाहरण के लिए, नीचे सिस्टम
\[\large 3x + 2y = 3\] \[\large 5x - 2y = 4\]समीकरणों की एक प्रणाली है, दो समीकरणों और दो अज्ञात (\(x\) और \(y\)) के साथ।या उदाहरण के लिए, नीचे दी गई प्रणाली:
\[\large 3x + 2y + z^2 = 3\] \[\large 5x - 2y + z = 4\]समीकरणों की एक प्रणाली है, दो समीकरणों और तीन अज्ञात (__ xyz_a_, __ xyz_b__ और \(z\)) के साथ।
पहला उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का एक उदाहरण है।
दूसरा उदाहरण गैर-रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का एक उदाहरण है।क्यों?आपने अनुमान लगाया: पहले समीकरण में \(z^2\) शब्द इसे गैर-रैखिक बनाता है।
सामान्य शब्दों में, समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली रणनीति इस बात पर निर्भर करती है कि यह रैखिक है या नहीं।समीकरणों की रैखिक प्रणालियों के लिए, उन्हें हल करने के लिए व्यवस्थित तरीके हैं, जैसे कि क्रैमर का निम ।समीकरणों की गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए, एक निश्चित रणनीति नहीं है और हमें मामले के मामले में जाने की आवश्यकता है।
समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान की संख्या
समीकरणों की एक प्रणाली कितनी समाधान है, यदि कोई हो?इस प्रश्न का एक सामान्य उत्तर केवल समीकरणों की संख्या और अज्ञात की संख्या के बीच संबंधों के आधार पर रैखिक समीकरणों के सिस्टम के मामले के मामले के साथ दिया जा सकता है।
आम तौर पर, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में जहां समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के समान या अधिक है, एक अद्वितीय समाधान, कोई समाधान या अनंत समाधान हो सकता है।
जब समीकरणों की संख्या अज्ञातों की संख्या से कम होती है, तो एक अनंत संख्या में समाधान, या कोई समाधान नहीं हो सकता है, लेकिन एक अद्वितीय समाधान नहीं हो सकता है।
आप समीकरणों की एक प्रणाली कैसे पाते हैं?
यह प्रश्न इस बात से संबंधित है कि समीकरणों की एक प्रणाली में कैसे आते हैं।कई संदर्भ हैं।उदाहरण के लिए, आप एक शब्द समस्या से निपट सकते हैं, जिसमें आप तीन अलग-अलग प्रकार के खाद्य पदार्थों का उत्पादन कर रहे हैं, और आपके पास लागत, कैलोरी इत्यादि के मामले में उन खाद्य पदार्थों पर कई प्रकार के प्रतिबंध हैं। उन प्रतिबंधों में से प्रत्येक शायद हो सकता हैसमीकरण के रूप में प्रतिनिधित्व किया।
अनगिनत अनुप्रयोग हैं जिनमें विभिन्न प्रतिबंध रैखिक समीकरणों का कारण बनते हैं जिन्हें एक साथ हल करने की आवश्यकता होती है, जिससे समस्या को समीकरणों की प्रणाली में परिवर्तित कर दिया जाता है।
उदाहरण 1
समीकरणों की प्रणाली उदाहरण: यह समीकरण रैखिक या गैर-रैखिक की निम्नलिखित प्रणाली है?
\[\large x - 2y + z = 1\] \[\large 5x - 2y + z = 4\] \[\large 3x + 2y + \sin(z) = 3\]उत्तर:
सबसे पहले, उपरोक्त समीकरणों की एक प्रणाली है, तीन समीकरणों और तीन अज्ञात (\(x\), \(y\) और \(z\)) के साथ।पहले दो समीकरण रैखिक हैं कि अंतिम समीकरण \(\sin(z)\) अवधि के कारण गैर-रैखिक है।एक रैखिक समीकरण रखने के लिए, हमें अज्ञात को केवल निरंतर गुणा करने की आवश्यकता है।
तो, समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली रैखिक नहीं है, भले ही पहले दो समीकरण रैखिक हों, तीसरा नहीं है।एक प्रणाली के लिए, पूरे सिस्टम के लिए गैर-रैखिक होने के लिए रैखिक होने के लिए एक समीकरण होना पर्याप्त है।
उदाहरण 2
मान लीजिए कि आप निम्नलिखित मात्रा में तीन प्रकार के शर्ट उत्पाद करते हैं: \(x\), \(y\) और \(z\)।टाइप 1 की लागत $ 1 है, टाइप 2 $ 1.2 की लागत और $ 1.5 की लागत टाइप करें।साथ ही, उत्पाद प्रकार 3 में टाइप 2 और 0.8 घंटे का उत्पादन करने के लिए टाइप 1, 0.5 घंटे का उत्पादन करने में 1 घंटे लगते हैं।
मुझे पता है कि मेरे पास खर्च करने के लिए $ 800 हैं, और 500 घंटे उपलब्ध हैं।इसके अलावा, मेरे मांग अनुमानों के आधार पर, मैं कुल टाइप 1 शर्ट का उत्पादन करना चाहता हूं जो संयुक्त कुल प्रकार 2 और टाइप 3 के समीकरण है।
इन प्रतिबंधों के आधार पर समीकरणों की एक प्रणाली लिखें।क्या यह सिस्टम रैखिक है?
उत्तर:
ध्यान दें कि तीन अज्ञात (\(x\), \(y\) और \(z\)) हैं, जो प्रत्येक प्रकार की शर्ट की संख्या के अनुरूप है जिसे उत्पादित करने की आवश्यकता है।इसके अलावा, हमारे पास तीन समीकरण हैं: लागत के लिए एक, एक घंटे की संख्या के लिए एक, और एक प्रकार 1 शर्ट और अन्य प्रकार की संख्या के प्रतिबंध के लिए।
निम्नलिखित समीकरण स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं:
\[\large x + 1.2y + 1.5z = 800\] \[\large x + 0.5y + 0.8z = 500\] \[\large x = y + z\]बाईं ओर अज्ञात पर निर्भर सभी शर्तों को छोड़ने के सम्मेलन का उपयोग करके, हम अंतिम समीकरण को फिर से लिखने के लिए लिखते हैं:
\[\large x + 1.2y + 1.5z = 800\] \[\large x + 0.5y + 0.8z = 500\] \[\large x - y - z = 0\]ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण रैखिक है, इसलिए सिस्टम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है।
आप सामान्य रूप से समानता की प्रणालियों को कैसे हल करते हैं?
जैसा कि ऊपर बताया गया था, वहां एक भी रणनीति नहीं है जो सभी मामलों में फिट होगी।केवल समीकरण की रैखिक प्रणालियों के मामले में एक स्पष्ट, अच्छी तरह से परिभाषित रणनीति होगी।
फिर भी, कुछ अच्छे अभ्यास या कदम हैं जिन्हें आपको पालन करना है जो आपको समीकरणों के सभी प्रकार के सिस्टम को हल करने में मदद कर सकता है:
चरण 1:
सिस्टम में प्रत्येक समीकरण की पहचान करें
चरण 2:
समीकरण के एक तरफ ले जाएं सभी शर्तें जो अज्ञात (आमतौर पर बाईं ओर), और दूसरी तरफ स्थिरांक पर निर्भर करती हैं
चरण 3:
बाईं ओर (अज्ञात के साथ) और दाईं ओर (स्थिरांक के साथ) दोनों को सरल बनाएं
चरण 4:
समीकरणों की संरचना की पहचान करें।समीकरण रैखिक या गैर-रैखिक हैं?
चरण 5:
यदि सभी समीकरण रैखिक हैं, तो रैखिक प्रणालियों को हल करने के व्यवस्थित तरीकों में से एक का उपयोग करें (क्रैमर का शासन, प्रतिस्थापन, उन्मूलन, गॉस कमी, आदि)
चरण 6:
यदि कम से कम एक समीकरण गैर-रैखिक है, तो आप सबसे सरल समीकरण से शुरू होने वाले प्रतिस्थापन दृष्टिकोण का उपयोग करने का प्रयास कर सकते हैं।
समीकरणों की प्रणालियों के बारे में अधिक जानकारी
सभी विषयों में गणित में समीकरणों की प्रणाली हर जगह दिखाई देती है।समीकरणों की प्रणाली को व्यवस्थित करने में सक्षम होने के कारण मास्टर के लिए एक महत्वपूर्ण कौशल साबित होगा।
सबसे विशिष्ट प्रणाली जो आपको मिलेगी वह रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है।और अक्सर, आपको समीकरणों की प्रणालियां मिलेंगी जो रैखिक हैं, दो समीकरणों और दो अज्ञात के साथ।ये सिस्टम आमतौर पर रैखिक समीकरणों की 2x2 प्रणाली कहते हैं।
समीकरणों की प्रणाली ग्राफिंग
रैखिक समीकरणों की 2x2 प्रणाली के लिए, हमारे पास समेकित अक्षों में एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व का उपयोग करने में सक्षम होने का लाभ है।एक्स-वाई प्लेन में एक लाइन द्वारा एक रैखिक समीकरण का प्रतिनिधित्व किया जाता है।ग्राफिकल रूप से, 2x2 प्रणाली का समाधान वह बिंदु है जहां दो पंक्तियां छेड़छाड़ करती हैं, यदि कोई हो।
फिर, इस मामले में हमारे पास यह है: रेखाएं समानांतर हैं और एक दूसरे को छूती नहीं हैं (कोई समाधान नहीं), रेखाएं एक बिंदु (अद्वितीय समाधान) में छेड़छाड़ करती हैं, या रेखाएं समानांतर होती हैं और एक दूसरे को स्पर्श करती हैं (असीमित कई समाधान))
समीकरण कैलकुलेटर प्रणाली
यदि आप चाहें तो इस सॉल्वर का उपयोग करें रैखिक समीरनॉएन की एक 2x2 क्रमशाली को हल करने के लिए ।यह कैलकुलेटर 2x2 सिस्टम को हल करने के लिए क्रैमर के नियम का उपयोग करता है।समीकरणों की बड़ी प्रणालियों के लिए, सबसे अच्छा विकल्प का उपयोग करना है गॉसियन उंबुलन विधान , जो व्यवस्थित रूप से किसी भी आकार की रैखिक प्रणालियों से संबंधित है।