डोमेन और सीमा
किसी फ़ंक्शन का डोमेन एक सेट होता है जहां एक फ़ंक्शन अच्छी तरह से परिभाषित होता है। अधिक विशेष रूप से, \(f: D \rightarrow R\) को एक फ़ंक्शन होने दें, जिसका अर्थ है कि \(f(a)\) \(a \in D\) के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है। फ़ंक्शन \(f\) का डोमेन सेट \(D\) है।
गणितीय रूप से आप \(dom(f) = D\) लिखेंगे।
दूसरी ओर, किसी फ़ंक्शन की सीमा, मानों का एक समूह है, जिसे फ़ंक्शन के माध्यम से पहुँचा जा सकता है।
अधिक विशेष रूप से, \(f: D \rightarrow R\) को एक फ़ंक्शन होने दें, श्रेणी सभी संभावित मानों का सेट है \(b \in R\) जिसके लिए \(a \in D\) मौजूद है जैसे कि \(f(a) = b\)।
अक्सर, किसी फ़ंक्शन की श्रेणी को \(R(f)\) या \(f(D)\) के रूप में भी लिखा जाता है (जिसे फ़ंक्शन \(f\) के माध्यम से \(D\) के इमेज सेट के रूप में भी जाना जाता है)।
किसी फ़ंक्शन के डोमेन को जानना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें मानों का एक सुरक्षित सेट देता है जिस पर फ़ंक्शन अच्छी तरह से परिभाषित होता है।
फिर, श्रेणी महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें बताती है कि फ़ंक्शन द्वारा कौन से मान प्राप्त किए गए हैं। एक और ग्राफिकल व्याख्या यह है: एक बिंदु \(b\) \(f\) की सीमा में है यदि क्षैतिज रेखा \(y = b\) फ़ंक्शन \(f(x)\) के ग्राफ को काटती है।
व्यावहारिक रूप से डोमेन की गणना कैसे करें?
यहां बताया गया है कि डोमेन और रेंज कैसे खोजें :
डोमेन के लिए, आपको पहले उन बिंदुओं को खोजना होगा जहां फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है। अपरिभाषित संक्रियाओं के स्रोत शून्य से विभाजन या ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल हैं।
तो, आपको उन बिंदुओं (यदि कोई हो) को खोजने की जरूरत है जहां वे अपरिभाषित संचालन होते हैं। और डोमेन बाकी बिंदु होंगे, यह है, उन सभी बिंदुओं को छोड़कर जो आपको लगता है कि अपरिभाषित संचालन का कारण बनता है।
व्यावहारिक रूप से रेंज की गणना कैसे करें?
मान लीजिए \(y\) एक संख्या है और हम \(x\) के लिए निम्नलिखित समीकरण \(f(x) = y\) हल करेंगे। यदि \(f(x) = y\) को \(x\) के लिए हल किया जा सकता है, तो मान \(y\) सीमा में है।
तो यह थोड़ा मुश्किल है: आपको यह पता लगाना होगा कि क्या आपको \(y\) को किसी भी तरह से प्रतिबंधित करने की आवश्यकता है ताकि \(f(x) = y\) के पास \(x\) का समाधान हो।
उदाहरण 1
फ़ंक्शन \(\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}\) के डोमेन और रेंज की गणना करें।
उत्तर:
सबसे पहले, हमें डोमेन की गणना करने की आवश्यकता है। हमें यह देखने की जरूरत है कि फ़ंक्शन कहां अच्छी तरह से परिभाषित है। आमतौर पर यह शुरू करना आसान होता है जहां इसे अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जाता है।
तो इस मामले में, एक बात को छोड़कर, सभी वैध संचालन प्रतीत होते हैं: भाजक शून्य नहीं हो सकता।
ध्यान दें: डोमेन को खोजने की मुख्य कुंजी उन बिंदुओं की पहचान करना है जहां शून्य से संभावित विभाजन हैं, या नकारात्मक मूल्यों के संभावित वर्गमूल हैं, जो अमान्य संचालन हैं।
इसलिए, जब \(x-1 = 0\) होता है, तो फ़ंक्शन को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है, जो \(x = 1\) होने पर होता है। इसलिए, हम कहते हैं कि \(1\) मान को छोड़कर डोमेन पूरी वास्तविक रेखा है।
अंतराल संकेतन का प्रयोग करते हुए, हम \(dom(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\) लिखेंगे।
अब हमें सीमा की गणना करने की आवश्यकता है। आमतौर पर, डोमेन प्राप्त करने की तुलना में सीमा प्राप्त करना थोड़ा अधिक श्रमसाध्य हो सकता है, लेकिन यहाँ हम जाते हैं।
रेंज खोजने के कई तरीके हैं: कुछ फ़ंक्शन की रेंज के बारे में दावा करने के लिए फ़ंक्शन के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व पर भरोसा कर सकते हैं। यह काम कर सकता है, लेकिन यह वास्तविक उत्तर नहीं है, केवल एक शिक्षित कूबड़ है।
दूसरा तरीका औपचारिक गणितीय तरीका है: मान लीजिए \(y\) एक संख्या है और हम \(x\) के लिए निम्नलिखित समीकरण \(f(x) = y\) हल करेंगे। यदि \(f(x) = y\) को \(x\) के लिए हल किया जा सकता है, तो मान \(y\) सीमा में है।
इस मामले में हमारे पास है:
\[\large f(x) = y \Leftrightarrow \frac{x+1}{x-1} = y\] \[\Rightarrow \,\,\,x+1=y\left( x-1 \right)\] \[\Rightarrow \,\,\,x+1=yx-y\] \[\Rightarrow \,\,\,x-yx=-1-y\] \[\Rightarrow \,\,\,x\left( 1-y \right)=-1-y\] \[\Rightarrow \,\,\,x=\frac{y+1}{y-1}\]तो, \(x\) कब अच्छी तरह परिभाषित है? लगभग सभी \(y\) के लिए, जब \(y = 1\) को छोड़कर, क्योंकि उस स्थिति में हमारे पास \(0\) द्वारा एक विभाजन होता है। इसलिए, इस मामले में \(f\) का परिसर 1 को छोड़कर पूरी वास्तविक रेखा है।
अंतराल संकेतन का प्रयोग करते हुए, हम \(R(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\) लिखेंगे।
उदाहरण 2
फ़ंक्शन \(\displaystyle f(x) = \sqrt{x+1}\) के डोमेन और रेंज की गणना करें।
उत्तर:
याद रखें, डोमेन खोजने के लिए हमें उन बिंदुओं की तलाश करनी होगी जहां अमान्य संचालन हो सकता है (शून्य या नकारात्मक मानों के वर्गमूल से विभाजन। इस मामले में कोई विभाजन नहीं है, लेकिन हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि \(x+1\ge 0\) ताकि कोई वर्गमूल न हो नकारात्मक मानों का। तो फिर हमें \(x \ge -1\) की आवश्यकता है। अंतराल संकेतन का उपयोग करके, हम \(dom(f) = [-1, +\infty)\) लिखेंगे।
.अब सीमा के लिए, हमें \(x\): \(\sqrt{x+1} = y\) के लिए हल करना होगा। किसी चीज का वर्गमूल कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए कम से कम हमें उस \(y \ge 0\) की आवश्यकता होती है।
साथ ही, दोनों पक्षों में वर्ग लगाने पर हमें \(x+1 = y^2\) प्राप्त होता है, तो समाधान \(x = y^2-1\) होता है। इसलिए, हमें \(y\) पर केवल एक ही प्रतिबंध लगाने की आवश्यकता है, वह है \(y \ge 0\)। इसलिए, अंतराल संकेतन का उपयोग करते हुए, हम \(R(f) = [0, +\infty)\) लिखेंगे। आलेखीय रूप से:
डोमेन और रेंज के बारे में अधिक जानकारी
संक्षेप में, आइए हम कुछ बातों का पुनर्कथन करें। पहला डोमेन वह है जहां एक फ़ंक्शन अच्छी तरह से परिभाषित होता है, और रेंज उन बिंदुओं का समूह है जो फ़ंक्शन के माध्यम से पहुंचते हैं।
आवश्यक गणनाओं के संदर्भ में, सीमा खोजने की तुलना में डोमेन को खोजना आम तौर पर आसान होता है। आम तौर पर, कुछ लोग ग्राफिक रूप से सीमा खोजने की कोशिश करते हैं, लेकिन यह संभावित रूप से कम सटीक तरीका है। ग्राफिकल उत्तरों की सावधानी से व्याख्या करने की आवश्यकता है।
आप विशेष रूप से के बारे में ट्यूटोरियल देख सकते हैं डोमेन कैसे खोजें तथा क्षेत्र , जो विशेष रूप से प्रत्येक मामले पर अधिक विस्तार से ध्यान केंद्रित करते हैं।