जोड़ की कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी
जोड़ का कम्यूटेटिव गुण गणित पर की गई महत्वपूर्ण मान्यताओं में से एक है, जिसे आप शायद मान लेते हैं और बिना जाने हर समय उपयोग करते हैं।
कम्यूटेटिविटी का विचार एक ऑपरेशन के क्रम के इर्द-गिर्द घूमता है। सवाल यह है कि क्या मेरे पास वह है
\[\large a + b = b + a\]किसी भी संख्या \(a\) और \(b\) के लिए? आपके लिए यह एक मूर्खतापूर्ण प्रश्न हो सकता है। जैसे "आपका क्या मतलब है, बिल्कुल"। लेकिन सभी परिचालनों के लिए कम्यूटेटिविटी नहीं है। लेकिन यह संख्याओं के सामान्य जोड़ के लिए सही होता है।
क्या जोड़ की क्रमपरिवर्तनशीलता का कोई प्रमाण है? तकनीकी रूप से नहीं, क्योंकि यह बीजीय क्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याओं के लिए एक स्वयंसिद्ध है।
फिर भी, लेकिन यह समझना कि जोड़ कैसे संचालित होता है, इस बात से सहमत होना आसान है कि कम्यूटेटिविटी समझ में आती है, और इसलिए, हम स्वयंसिद्ध को स्वीकार करते हैं।
उदाहरण के लिए, यह सोचने के लिए दुनिया की सभी समझ में आता है कि \(3 + 4\) \(4 + 3\) जैसा ही है। वो क्यों है?? जिस तरह से हम अपने मन में जोड़ का संचालन करते हैं: यह गिनती 3 (जैसे, उंगलियों का उपयोग करके) की तरह है और फिर हम 4 की गिनती करते हैं।
इसलिए हम तर्क देते हैं कि अंत में हम उंगलियों की समान मात्रा गिनेंगे, भले ही हम 4 पहले और 3 सेकंड गिनें।
इसे देखने का यह एक अच्छा तरीका है। और इसमें से घर ले जाने की अवधारणा यह है कि कम्यूटेटिविटी प्रदान नहीं की जाती है, और कुछ संचालन में यह होगा और अन्य के पास नहीं होगा।
अन्य ऑपरेशन जिनमें कम्यूटेटिविटी है
क्या कम्यूटेटिविटी आम है? हाँ, काफी। लेकिन सभी ऑपरेशन में यह नहीं होता है। यहां तक कि आम लोग भी। उदाहरण के लिए, संख्याओं का गुणन क्रमविनिमेय होता है। यह, हमारे पास वह है
\[\large a\cdot b = b \cdot a\]सभी वास्तविक संख्याओं \(a\) और \(b\) के लिए। अच्छा, तो इसका मतलब है कि सभी सामान्य कार्यों के लिए कम्यूटेटिविटी है? सभी नहीं। उदाहरण के लिए, न तो घटाव और न ही संख्याओं का विभाजन क्रमविनिमेय है। दरअसल, सामान्य तौर पर
\[\large a - b = \not b - a\]और समानता तभी बनी रहती है जब \(a = b\)। तो उदाहरण के लिए, \(3 - 1 = 2\) और \(1 - 3 = -2\) बराबर नहीं हैं। अतः संख्याओं का घटाव क्रमविनिमेय नहीं है। विस्मित होना? अच्छा, अब आप इसे जानते हैं।
इसके अलावा, विभाजन के लिए हमारे पास सामान्य रूप से है
\[\large a / b = \not b / a\]और समानता तभी बनी रहती है जब \(a = b\)। तो उदाहरण के लिए, \(6 / 3 = 2\) और \(3 / 6 = 1/2\) बराबर नहीं हैं। अतः संख्याओं का विभाजन क्रमविनिमेय नहीं है।
उदाहरण 1
वास्तविक संख्याओं \(a\) और \(b\) के बीच निम्नलिखित संक्रिया पर विचार करें:
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b\]क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?
उत्तर:
चूँकि वास्तविक संख्याओं का योग और गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए हमारे पास वह है
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b = b \cdot a + b + a = b \odot a \]जिसका अर्थ है कि संक्रिया \(\odot\) क्रमविनिमेय है।
उदाहरण 2
अब वास्तविक संख्याओं \(a\) और \(b\) के बीच निम्नलिखित संक्रिया पर विचार करें:
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b\]क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?
उत्तर:
नोटिस जो
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b \] \[\large b \odot a = b\cdot a + b + 2a \]तो फिर
\[\large a \odot b - b \odot a = a\cdot b + a + 2b - (b\cdot a + b + 2a) \] \[\large = a\cdot b + a + 2b - b\cdot a - b - 2a\] \[\large = a\cdot b + a + 2b - a\cdot b - b - 2a\] \[\large = a + 2b - b - 2a\] \[\large = b - a\]जो सामान्य रूप से शून्य नहीं है। इसलिए, इसका तात्पर्य यह है कि ऑपरेशन \(\odot\) अब कम्यूटिव नहीं है।
अतिरिक्त की कम्यूटेटिव संपत्ति के बारे में अधिक जानकारी
तो, संख्याओं के जोड़ के लिए और संख्याओं के गुणन के लिए भी क्रमपरिवर्तन बहुत स्पष्ट प्रतीत होता है। लेकिन, क्या यह उन सभी कार्यों के लिए मान्य है जिनके बारे में हम सोच सकते हैं? त्वरित उत्तर: बिल्कुल नहीं।
हमें उन संक्रियाओं के उदाहरण खोजने के लिए बहुत दूर जाने की आवश्यकता नहीं है जो क्रमविनिमेय नहीं हैं। उदाहरण के लिए, आइए हम मैट्रिक्स के गुणन पर विचार करें। आपको इसके बारे में आश्चर्य हो सकता है, लेकिन आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेय नहीं है।
दूसरे शब्दों में, आपके पास \(A\) और \(B\) आव्यूह हो सकते हैं जिसके लिए \(A \cdot B = \not B \cdot A\)। विश्वास मत करो? इसे देखें: विचार करें
\[\large A = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] , B = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \]फिर इस मामले में हमारे पास है कि
\[\large A \cdot B = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 &3 \end{matrix}\right] \]तथा
\[\large B \cdot A = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix}\right] \]जो यह दिखाने के लिए जाता है कि यह सामान्य रूप से सच नहीं है कि \(A \cdot B = B \cdot A\)।
आप के बारे में और अधिक पढ़ सकते हैं कम्यूटेटिविटी संपत्ति और के बारे में भी संबंधी संपत्ति . ये दो गुण वास्तविक संख्याओं के लिए संरचना की आधारशिला हैं।