संबंधी संपत्ति
साहचर्य संपत्ति उन गुणों में से एक है जिसके बारे में ज्यादा चर्चा नहीं होती है, क्योंकि इसे मान लिया जाता है, और इसका उपयोग हर समय, बिना जाने ही किया जाता है। साहचर्य संपत्ति का संबंध दो से अधिक ऑपरेंड का संचालन करते समय हम पहले किन ऑपरेंड को संसाधित करते हैं, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि ऑपरेशन के अंतिम परिणाम के संदर्भ में हम कौन से ऑपरेंड पहले संचालित करते हैं।
साहचर्य संपत्ति बीजगणित में एक आधारशिला बिंदु है, और यह उन अधिकांश कार्यों की नींव है जो हम दैनिक रूप से बिना जाने भी करते हैं। साहचर्य संपत्ति के बिना बीजगणित करना, हालांकि संभव है, यह काफी कठिन है। गणित में ऐसी संरचनाएं हैं जिनमें संबद्धता को सत्य नहीं माना जाता है, लेकिन वे बहुत अधिक सीमित हैं।
साहचर्य संपत्ति के मूल में, हमें पहले संचालन के विचार को समझने की जरूरत है। बहुत अधिक तकनीकी होने के बिना, एक ऑपरेशन "\(\circ\)" एक निश्चित सेट \(E\) पर दो तत्वों \(a\) और \(b\) को लेने का एक तरीका है, और सेट \(E\) में एक और तत्व \(c\) बनाने के लिए उनके साथ "कुछ" करें।
तो फिर, आप \(a\) और \(b\) लेते हैं, आप उन्हें संचालित करते हैं और आपको \(c\) मिलता है। ऐसी क्रिया को गणितीय रूप से \(a \circ b = c\) के रूप में रखा जा सकता है।
यह देखना महत्वपूर्ण है कि आपने \(c\) प्राप्त करने के लिए दो तत्वों, \(a\) और \(b\) को संचालित किया है। मैं फिर से जोर देता हूं, आप दो तत्वों, \(a\) और \(b\) को संचालित करते हैं। अब तक सब ठीक है। तो, प्रश्न, क्या होगा यदि आप तीन तत्वों को संचालित करना चाहते हैं। ठीक है, आप सभी ऑपरेशनों के बाद दो तत्व नहीं ले सकते हैं, तो आप तीसरे के साथ क्या करेंगे। या आप कर सकते हैं?
ठीक है, क्या होगा यदि आप पहले उनमें से दो को संचालित करते हैं, और फिर आप पहले दो तत्वों के संचालन के परिणाम के साथ तीसरे को संचालित करते हैं? हाँ, ऐसा किया जा सकता है। तो, मान लें कि आपके पास तीन तत्व \(a\), \(b\) और \(c\) हैं और आप उन्हें संचालित करना चाहते हैं। एक तरीका पहले \(a\) और \(b\) को संचालित करना है, और फिर \(c\) के साथ परिणाम को संचालित करना है। वह \((a\circ b)\circ c\) होगा।
वहां कोष्ठक पर ध्यान दें। यह वहाँ एक कारण के लिए है। \((a\circ b)\circ c\) लिखकर आप कह रहे हैं कि आप पहले \(a\) और \(b\) संचालित कर रहे हैं, और फिर आप \(c\) संचालित करते हैं। काफी उचित। यह \(a\), \(b\) और \(c\) के संचालन का एक संतोषजनक तरीका लगता है। लेकिन क्या यही एकमात्र रास्ता है? क्या होगा यदि मैं पहले \(b\) और \(c\) संचालित करता हूं, और फिर मैं \(a\) संचालन \(b\) और \(c\) के परिणाम के साथ संचालित करता हूं। आप इसे \(a\circ (b\circ c)\) लिखेंगे।
अब बड़ा सवाल: क्या यह वही है अगर मैं उन तीन तत्वों को ऊपर दिखाए गए तरीकों से संचालित करता हूं। क्या मुझे वही अंतिम परिणाम मिलता है यदि मैं पहले दो को संचालित करता हूं और परिणाम तीसरे के साथ संचालित होता है, या यदि पहले तत्व को अन्य दो के संचालन के परिणामों के साथ संचालित किया जाता है? या बस, \((a\circ b)\circ c\) \(a\circ (b\circ c)\) के समान है। प्रिय मित्रों, इसका उत्तर इस बात पर निर्भर करता है कि संक्रिया साहचर्य है या नहीं।
परिभाषा: एक संक्रिया \(\circ\) साहचर्य है यदि किन्हीं तीन तत्वों \(a\), \(b\) और \(c\) के लिए, हमारे पास वह है
\[ (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)\]सभी ऑपरेशन इस सहयोगी संपत्ति को संतुष्ट नहीं करते हैं, बहुमत करते हैं, लेकिन कुछ नहीं करते हैं। सबसे आम ऑपरेशन, जिन्हें हम जानते हैं, सहयोगीता को संतुष्ट करते हैं, जैसे योग या गुणा
उदाहरण 1
अपने आप को यह समझाने के लिए कुछ संख्याओं की जाँच करें कि सहबद्धता सामान्य योग "\(+\)" के लिए मिलती है।
उत्तर:
उदाहरण के लिए, आइए 3 संख्याओं पर विचार करें: \(8\), \(4\) और \(7\)। आइए देखें कि इस डेटा के लिए संबद्धता पूरी होती है या नहीं। नोटिस जो:
\[ \large (8 + 4) + 7 = 12 + 7 = 19 \]दूसरी ओर, हमारे पास वह है
\[ \large 8 + (4 + 7) = 8 + 11 = 19 \]इसलिए, इस मामले में \((8 + 4) + 7 = 8 + (4 + 7)\)।
दो से अधिक ऑपरेंड के साथ संचालन को परिभाषित करने के लिए प्रयुक्त साहचर्य संपत्ति
इसलिए, सभी ऑपरेशन सहयोगी नहीं होते हैं, लेकिन अधिकांश जिन्हें हम जानते हैं वे हैं। जब सहयोगीता मिलती है, तो हम अस्पष्टता के बिना दो से अधिक ऑपरेंड के संचालन को परिभाषित कर सकते हैं। इसे सरल बनाने के लिए, हम बिना कोष्ठक के \(a \circ b \circ c\) लिखते हैं क्योंकि संबद्धता गुण के कारण, हम जानते हैं कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम ऑपरेंड को कैसे समूहित करते हैं, हमें ऑपरेशन का वही अंतिम परिणाम मिलेगा।
उदाहरण 2
आइए निम्नलिखित ऑपरेशन को परिभाषित करें:
\[ \large a\circ b = ab+a-b \]क्या यह ऑपरेशन सहयोगी है?
उत्तर:
नोटिस जो
\[\left( a\circ b \right)\circ c=\left( ab+a-b \right)\circ c= \left( ab+a-b \right)c+ab+a+b-c\] \[= abc+ac-bc+ab+a+b-c\]दूसरी ओर, हमारे पास वह है
\[a\circ \left( b\circ c \right) = a\circ \left( bc+b-c \right)=a\left( bc+b-c \right)+a+bc+b-c\] \[= abc - ac + bc + ab + a + b - c\]इसलिए, यह हमेशा सत्य नहीं है कि \(\left( a\circ b \right)\circ c = a\circ \left( b\circ c \right) \)। इसलिए, ऑपरेशन "\(\circ\)" सहयोगी नहीं है।
सहयोगीता के बारे में अधिक जानकारी
संबद्धता उन चीजों में से एक है जिसे आप हल्के में लेते हैं और मूल रूप से आप बिना जाने इसका उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, जब आप \(1 + 2 + 3\) लिखते हैं, तो आप परोक्ष रूप से यह मान रहे हैं कि संबद्धता पूरी हो गई है, क्योंकि अन्यथा आपको यह निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होगी कि क्या आपका मतलब \((1 + 2) + 3\) है या आपका मतलब \(1 + (2 + 3)\) है। जब संबद्धता होती है, तो कोष्ठक मायने नहीं रखता क्योंकि आपको एक ही परिणाम मिलता है, इसलिए आप बस \(1 + 2 + 3\) लिखें।
कृपया के साथ संबद्धता को भ्रमित न करें कम्यूटेटिविटी . जब हम कहते हैं कि सहबद्धता मिलती है, तो आप किस जोड़ी को पहले संचालित करते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। अर्थात् एक ही नहीं यह कहते हुए कि ऑपरेशन का क्रम मायने नहीं रखता, जो एक अलग बात है (और इसे कम्यूटेटिविटी प्रॉपर्टी कहते हैं)।
सहयोगी संपत्ति क्यों महत्वपूर्ण है?
साहचर्य गुण बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि यह लचीलेपन को दो से अधिक ऑपरेंड के संचालन के संचालन की अनुमति देता है, इस तरह से इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा ऑपरेंड पहले संचालित होता है, इसलिए कोष्ठक की आवश्यकता नहीं होती है। कुछ कार्यों के लिए सहयोगीता पूरी नहीं होती है, और यह ठीक है, लेकिन सहयोगीता की कमी सब कुछ अधिक बोझिल बना देती है।