क्रमचयी गुणधर्म
कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी बीजगणितीय संक्रियाओं के उन गुणों में से एक है, जिन पर हम नज़र नहीं रखते, क्योंकि इसे आमतौर पर मान लिया जाता है। कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी को दो ऑपरेंड के बीच ऑपरेशन के क्रम के साथ करना पड़ता है, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम उन्हें किस क्रम में संचालित करते हैं, हमें ऑपरेशन का वही अंतिम परिणाम मिलता है।
कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी बीजगणित के आधारशिलाओं में से एक है, और यह कुछ ऐसा है जिसे हम बिना जाने हर समय उपयोग करते हैं। यह हमारे दिमाग में भी बिना जाने ही है, जब हम "कारकों का क्रम उत्पाद को नहीं बदलता है" प्राप्त करने के लिए उपयोग करते हैं।
सबसे पहले, हमें ऑपरेशन की अवधारणा को समझने की जरूरत है। गणितीय शब्दों में, एक ऑपरेशन "\(\circ\)" एक निश्चित सेट \(E\) पर दो तत्वों \(a\) और \(b\) को लेने का एक तरीका है, और सेट \(E\) में एक और तत्व \(c\) बनाने के लिए उनके साथ "कुछ" करें।
इसलिए, जब आप एक सेट में दो तत्व \(a\) और \(b\) लेते हैं, तो आप उन्हें "\(\circ\)" ऑपरेशन के साथ संचालित करते हैं और आपको \(c\) मिलता है। आप इसे गणितीय रूप से \(a \circ b = c\) लिखते हैं।
परिभाषा: एक संक्रिया \(\circ\) क्रमविनिमेय है यदि किन्हीं दो तत्वों \(a\) और \(b\) के लिए हमारे पास वह है
\[ a\circ b = b \circ a\]ध्यान दें कि सभी ऑपरेशन इस कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी को संतुष्ट नहीं करते हैं, हालांकि अधिकांश सामान्य ऑपरेशन करते हैं, लेकिन सभी नहीं। वास्तव में, जोड़ और गुणा कम्यूटेटिव संपत्ति को संतुष्ट करते हैं, लेकिन घटाव और भाग नहीं करते हैं।
उदाहरण 1
इतना ही कि सामान्य घटाव "\(-\)" क्रमविनिमेय नहीं है।
उत्तर:
दरअसल, आइए संख्याओं पर विचार करें: \(8\) और \(4\)। उसका अवलोकन करो:
\[ \large 8 - 4 = 4 \]जबकि
\[ \large 4 - 8 = -4 \]तो फिर, \(8 - 4\) \(4 - 8\) के बराबर नहीं है, जिसका अर्थ है कि घटाव "\(-\)" कम्यूटिव नहीं है।
उदाहरण 2
आइए निम्नलिखित ऑपरेशन को परिभाषित करें:
\[ \large a\circ b = ab+a+b \]क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?
उत्तर:
उसका अवलोकन करो
\[ a \circ b = ab+a+b\]दूसरी ओर, हमें वह भी मिलता है
\[ b \circ a = ba+b+a = ab + a + b\]क्योंकि उभयनिष्ठ जोड़ और गुणन दोनों क्रमविनिमेय हैं। तो, हम देख सकते हैं कि \(a \circ b = b \circ a\)। इसलिए, संक्रिया "\(\circ\)" क्रमविनिमेय है।
कम्यूटेटिविटी के बारे में अधिक जानकारी
कम्यूटेटिविटी एक ऐसी संपत्ति है जिसे आपने शायद बिना सोचे समझे कई बार इस्तेमाल किया है। आप इसे अपने प्राथमिक विद्यालय के वर्षों से एक लोरी की तरह प्राप्त करते हैं: "कारकों का क्रम उत्पाद को नहीं बदलता है"। और मुझे लगता है कि यह काम करता है क्योंकि यह चिपक जाता है। अगर उन्होंने आपको बताया कि "गुणा एक कम्यूटेटिव ऑपरेशन है", और मुझे यकीन है कि यह कम रहेगा।
एक महत्वपूर्ण बात यह है कि भ्रमित न हों संबद्धता कम्यूटेटिविटी के साथ। जब हम सहबद्धता का उल्लेख करते हैं, तो हमारा मतलब है कि हम जो भी जोड़ी पहले संचालित करते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। अर्थात् एक ही नहीं यह कहते हुए कि ऑपरेशन का क्रम मायने नहीं रखता, जो कि सहयोगीता की संपत्ति है।
कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी क्यों महत्वपूर्ण है?
NS क्रमचयी गुणधर्म बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि यह संचालन की गणना में लचीलेपन के स्तर की अनुमति देता है जो आपके पास अन्यथा नहीं होता। ऐसी गणितीय संरचनाएं हैं जो कम्यूटेटिविटी पर भरोसा नहीं करती हैं, और वे सामान्य ऑपरेशन भी हैं (जैसे घटाव और विभाजन) जो इसे संतुष्ट नहीं करते हैं। तो, कम्यूटेटिविटी एक उपयोगी संपत्ति है, लेकिन यह हमेशा पूरी नहीं होती है।