एक्सपोनेंट्स के नियम
एक्सपोनेंट के साथ संचालन सबसे आम परिचालनों में से एक है जो आप गणित में चारों ओर आयोजित करेंगे, और यह महत्वपूर्ण है कि आपके पास उनके बारे में उचित नींव है।
आगे के बिना, हमें मूल एक्सपोनेंट गुणों की सूची दें।इन गुणों का उपयोग कुशलता से अत्यंत महत्व का है।नियम हैं:
नियम 1: \(\large \displaystyle x^0 = 1\), \(x = \not 0\) के लिए
नियम 2: \(\large\displaystyle x^1 = x\)
नियम 3: \(\large\displaystyle x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)
नियम 4: \(\large\displaystyle \left(x^m\right)^n = x^{mn}\)
नियम 5: \(\large\displaystyle \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\)
नियम 6: \(\large\displaystyle (x \cdot y)^m = x^m \cdot y^m\)
आइए इन नियमों को थोड़ा सा समझाएं शब्दों में ।
नियम 1
यह कह रहा है कि शून्य की शक्ति में उठाए गए कुछ भी 1. अच्छी तरह से 1 के बराबर है, क्योंकि कन्वेंशन द्वारा (और इसके लिए एक अच्छा कारण है) \(0^0 = 0\)।
अभी,
नियम 2
यह कह रहा है कि किसी भी संख्या को लेना और इसे 1 की शक्ति में उठाना एक ही मूल संख्या देता है।दूसरे शब्दों में, 1 की शक्ति को एक संख्या बढ़ाने से संख्या को प्रभावित नहीं होता है।
नियम 3
यह कह रहा है कि जब मैं एक ही आधार के साथ शक्तियों को गुणा करता हूं, तो परिणाम एक शक्ति होती है जिसमें एक ही आधार होता है, जो शक्ति के लिए उठाया गया शक्तियों के योग के अनुरूप होता है जो मैं गुणा कर रहा हूं।
नियम 4
यह कह रहा है कि एक शक्ति की शक्ति लेना गुणा के रूप में गुणा एक्सपोनेंट के साथ एक शक्ति लेने के समान है।
नियम 5
यह कह रहा है कि जब मैं एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करता हूं, तो परिणाम एक शक्ति होती है जिसमें एक ही आधार होता है, जो शक्ति के लिए उठाया गया शक्तियों के घटकों के घटाव के अनुरूप होता है जो मैं गुणा कर रहा हूं।
नियम 6
यह कह रहा है कि जब मेरे पास गुणा को प्रभावित करने वाली शक्ति होती है, तो यह उस शक्ति को उठाए गए प्रत्येक शर्त को गुणा करने जैसा ही होता है।
उदाहरण 1
निम्नलिखित अभिव्यक्ति को सरल बनाएं
\[\large \displaystyle \frac{x^{3}y^{3}}{\sqrt x y^2}\]उत्तर:
एक ही आधार के साथ शक्तियों के विभाजन के लिए नियम 5 का उपयोग करना:
\[\large \displaystyle \frac{x^{3}y^{3}}{\sqrt x y^2} = \frac{x^{3}y^{3}}{x^{1/2} y^2} \] \[\large \displaystyle = \frac{x^3}{x^{1/2}} \cdot \frac{y^3}{y^2} = \displaystyle x^{3-1/2} \cdot y^{3-2}\] \[\large \displaystyle = \displaystyle x^{5/2} \cdot y^{1} = x^{5/2} y\]क्या मुझे नकारात्मक एक्सपोनेंट्स के बारे में चिंता करनी चाहिए?
ज़रुरी नहीं।सबसे पहले, ऊपर बताए गए एक्सपोनेंट्स के लिए 5 नियम इसके बारे में कोई विशिष्ट बयान नहीं देते हैं कि एक्सपोनेंट्स को गैर-नकारात्मक होने की आवश्यकता है।वास्तव में, नियम उन सभी के समान काम करते हैं नकारात्मक हैं।
वास्तव में, के लिए नोकारात्मक एक्स्पोनेंट्स , दो नियम होंगे जो आपको उन्हें सकारात्मक एक्सपोनेंट में बदलने की अनुमति देंगे:
\[\large\displaystyle \frac{1}{x^n} = x^{-n}\]
यह अभिव्यक्ति हमें दिखा रही है कि हम एक नकारात्मक एक्सपोनेंट के साथ एक शक्ति परिवर्तित कर सकते हैं जो संख्यात्मक में संख्यात्मक में एक सकारात्मक सकारात्मक एक्सपोनेंट के साथ एक शक्ति में है।
उपरोक्त अभिव्यक्ति हमें दिखा रही है कि हम एक नकारात्मक एक्सपोनेंट के साथ एक शक्ति को परिवर्तित कर सकते हैं जो संख्यात्मक में संख्यात्मक में समान सकारात्मक एक्सपोनेंट के साथ एक शक्ति के लिए है।
उदाहरण 2
निम्नलिखित अभिव्यक्ति को सरल बनाएं, कोई नकारात्मक एक्सपोनेंट्स छोड़कर:
\[\large \displaystyle \frac{x^{4}\sqrt{x} y^{-2}}{x^{-3/2} y^{1/2}}\]उत्तर:
नकारात्मक घाटे को सकारात्मक घाटियों में बदलना, और 5 एक्सपोनेंट नियमों को लागू करना:
\[\large \displaystyle \frac{x^{4}\sqrt{x} y^{-2}}{x^{-3/2} y^{1/2}} = \frac{x^{4} x^{1/2} y^{-2}}{x^{-3/2} y^{1/2}} \] \[\large \displaystyle = \frac{x^{4} x^{1/2} x^{3/2}}{y^{1/2} y^{2}} = \frac{x^{4+1/2+3/2}}{y^{2+1/2}} \] \[\large \displaystyle = \frac{x^{6}}{y^{5/2}} \]जो सरलीकरण का समापन करता है।
क्या ये एक्सपोनेंट कुछ हद तक लॉगरिदम के नियमों से संबंधित हैं?
बिल्कुल!इसकी जाँच पड़ताल करो लारुगणकन और आप यह पता लगाएंगे कि वे संरचनात्मक रूप से बहुत समान हैं, और ऐसा इसलिए है क्योंकि लॉगरिदम और शक्तियां एक दूसरे के लिए व्यस्त संचालन हैं।
थोड़ा सा नमूना के रूप में, चलो एक त्वरित सबूत करते हैं।मान लें कि \(a = x^m\) और \(b = x^n\)।फिर, परिभाषा के अनुसार, \(m = \log_x a\) और \(n = \log_x b\)।तो फिर, एक्सपोनेंट नियमों, \(a\cdot b = x^m \cdot x^n = x^{m+n}\) द्वारा।इसलिए, परिभाषा के अनुसार, \(m + n = \log_x (a \cdot b)\)।लेकिन \(m = \log_x a\) और \(n = \log_x b\), तो \(\log_x a + \log_x b = \log_x (a \cdot b)\)।
एक्सपोनेंट्स के नियम के बारे में अधिक
एक बात थी कि हमें इस तथ्य पर जोर देने की जरूरत है कि एक्सपोनेंट्स के नियमों को घातांक सकारात्मक होने की आवश्यकता नहीं है।एक्सपोनेंट्स को पूर्णांक होने की आवश्यकता नहीं है।नियम वास्तविक घाटियों के लिए हैं।
• यह न भूलें कि यदि आप संख्या में नकारात्मक एक्सपोनेंट से निपट रहे हैं, तो आप इसे सकारात्मक एक्सपोनेंट के साथ संप्रदाय को पास करके इसे बदल सकते हैं।
• इसके अलावा, यदि आप denominator में एक नकारात्मक एक्सपोनेंट से निपट रहे हैं, तो आप इसे सकारात्मक एक्सपोनेंट के साथ संख्यात्मक में पास करके इसे बदल सकते हैं।
एक्सपोनेंट्स के नियमों में इतने सारे एप्लिकेशन हैं, जिनमें प्राप्त करने के लिए बेस ग्राउंड प्रदान करना शामिल है कानों को सरल बनेने के लिए निम , जो घातीयों की जड़ों के एक अनुशासन के रूप में आते हैं।
ग्राफिकल शर्तों में, आप इस नियम का पता लगा सकते हैं Grafirg विर्शिन घati caryóns , और उनके पास विशिष्ट गुणों को देखकर।