नकारात्मक घातांक के साथ संचालन
घातांक के साथ संचालन बीजगणित में सबसे मौलिक संचालन में से हैं, और उनमें से, नकारात्मक घातांक शामिल हैं जो छात्रों के लिए सबसे अधिक जटिलताएं लाते हैं।
सबसे पहले, आइए हम मूल घातांक गुणों को याद करें। इन गुणों का प्रयोग गणित के अधिकांश क्षेत्रों में सर्वव्यापी है। नियम हैं:
नियम 1: \(\large \displaystyle x^0 = 1\), \(x = \not 0\) के लिए
नियम 2: \(\large\displaystyle x^1 = x\)
नियम 3: \(\large\displaystyle x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)
नियम 4: \(\large\displaystyle \left(x^m\right)^n = x^{mn}\)
नियम 5: \(\large\displaystyle \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\)
उदाहरण के लिए, जब आपके पास \(3^5 \cdot 3^7\) जैसे व्यंजक हों, तो हम जानते हैं कि हम गुणन नियम (नियम 3) का उपयोग करते हैं:
\[\large 3^5 \cdot 3^7 = 3^{5+7} = 3^{12}\]घातांक नियम: ऋणात्मक प्रतिपादकों का क्या होता है?
यहां तक कि अगर आपको इसका एहसास नहीं हुआ, तो ऊपर दिए गए नियम यह नहीं कहते हैं कि प्रतिपादकों को सकारात्मक होने की आवश्यकता है। वास्तव में, वे नकारात्मक हो सकते हैं और नियम भी लागू रहेंगे।
अब, नियम 1 और 5 से हम सकारात्मक और नकारात्मक घातांक के बीच संबंध प्राप्त कर सकते हैं। तो, नियम 5 के लिए, मान लें कि \(m = 0\) और \(n\) सकारात्मक है। फिर, हमें मिलता है
\[\large\displaystyle \frac{1}{x^n} = \frac{x^0}{x^n} = x^{0-n} = x^{-n}\]उपरोक्त अभिव्यक्ति हमें सकारात्मक और नकारात्मक घातांक के बीच एक सरल संबंध देती है:
\[\large\displaystyle \boxed{\frac{1}{x^n} = x^{-n}}\]
यह उपरोक्त अभिव्यक्ति हमें बता रही है कि हम अंश में एक नकारात्मक घातांक के साथ हर को संबंधित सकारात्मक घातांक के साथ पास कर सकते हैं। यह ऋणात्मक घातांकों का एक 'नियम' है
उपरोक्त सूत्र की सुंदरता यह है कि हम समानता के दोनों पक्षों के पदों को गुणा कर सकते हैं, और हम उपरोक्त अभिव्यक्ति को थोड़ा अलग रूप में लिख सकते हैं:
\[\large\displaystyle \boxed{\frac{1}{x^{-n}} = x^{n}}\]
यह अंतिम व्यंजक आमतौर पर बहुत उपयोगी होता है, क्योंकि यह हमें बता रहा है कि हम हर में ऋणात्मक घातांक के साथ अंश में लेकिन संबंधित सकारात्मक घातांक के साथ एक शक्ति ला सकते हैं। इसे नकारात्मक प्रतिपादकों के लिए एक और "नियम" माना जा सकता है।
उदाहरण 1
निम्नलिखित अभिव्यक्ति को सरल बनाएं, और नकारात्मक घातांक के बिना छोड़ दें:
\[\large \displaystyle \frac{x^{3}\sqrt{x} y^{-3}}{x^{-1/2} y^2}\]उत्तर:
ऋणात्मक घातांक के नियम का उपयोग करते हुए, हम अंश/हर के बीच धनात्मक/ऋणात्मक घातांक बदलते हैं:
\[\large \displaystyle \frac{x^{3}\sqrt{x} y^{-3}}{x^{-1/2} y^2} = \frac{x^{3}\sqrt{x} x^{1/2}}{ y^2 y^{3}}\] \[\large = \frac{x^{3} x^{1/2} x^{1/2}}{ y^2 y^3} = \frac{x^{3+1/2+1/2}}{ y^{2+3}} \] \[\large = \frac{x^{4}}{ y^{5}} \]और हम सरलीकरण को समाप्त करते हैं, क्योंकि सरल करने के लिए कुछ भी नहीं बचा है।
नकारात्मक घातांक के बारे में अधिक जानकारी
नकारात्मक घातांक के बारे में इस ट्यूटोरियल का सबसे बड़ा निष्कर्ष यह है कि हमारे पास उन नकारात्मक घातांक को सकारात्मक घातांक में बदलने के नियम हैं। हम इसे कैसे करते हैं?
• यदि हमारे अंश में ऋणात्मक घातांक है (इसलिए आप ऋणात्मक घातांक से गुणा कर रहे हैं), तो हम इसे धनात्मक घातांक वाले हर को पास कर सकते हैं।
• यदि हमारे पास हर में एक ऋणात्मक घातांक है (इसलिए आप एक ऋणात्मक घातांक से विभाजित कर रहे हैं), तो हम इसे धनात्मक घातांक वाले अंश को पास कर सकते हैं।
नकारात्मक प्रतिपादकों के साथ कार्य करना से निपटने के विषय का एक छोटा सा हिस्सा है घातांक के नियम , जो आपको एक स्पष्ट अंतर्दृष्टि देता है कि नकारात्मक घातांक वाला मामला उस तरह से क्यों काम करता है जिस तरह से वह करता है।