किसी फंक्शन का व्युत्क्रम कैसे ज्ञात करें
बीजगणित और कलन में कई अनुप्रयोग यह जानने पर निर्भर करते हैं कि किसी फ़ंक्शन के प्रतिलोम को कैसे खोजना है, और यही इस ट्यूटोरियल का विषय है।
सबसे पहले, आपको यह महसूस करने की आवश्यकता है कि किसी फ़ंक्शन के व्युत्क्रम को खोजने से पहले, आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि ऐसा व्युत्क्रम मौजूद है।
व्युत्क्रम ज्ञात करने की विधि के बारे में अच्छी बात यह है कि हम व्युत्क्रम का पता लगाएंगे और यह पता लगाएंगे कि यह एक ही समय में मौजूद है या नहीं।
तैयार?? फिर कमर कस लें।
आप कैसे बता सकते हैं कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है?
तकनीकी रूप से, एक फ़ंक्शन का उलटा होता है जब यह एक-से-एक (इंजेक्शन) और विशेषण होता है।
हालांकि महत्वपूर्ण शर्त यह है कि इसे एक-से-एक होना चाहिए, क्योंकि किसी फ़ंक्शन को अपनी छवि तक अपनी सीमा को सीमित करके विशेषण बनाया जा सकता है।
जब कोई फ़ंक्शन एक-से-एक होता है तो आप कैसे जानते हैं?
खैर, कम से कम दो तरीके हैं। एक बीजीय तरीका है, और दूसरा तरीका ग्राफिकल तरीका है (मुझे यकीन है कि मुझे पता है कि आप किसे पसंद करते हैं, हुह?)
बीजीय मार्ग
बीजगणितीय तरीके से, एक फलन \(f\) एक-से-एक होने के लिए, हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि हर बार \(f(x) = f(y)\), हमें उस \(x = y\) की आवश्यकता होती है।
दूसरे शब्दों में, हमें यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि
\[f(x) = f(y) \,\,\Rightarrow \,\, x = y\]
ग्राफिकल तरीका
ग्राफिकल तरीके से, हमें उपयोग करने की आवश्यकता है क्षैतिज रेखा परीक्षण : हमारे द्वारा खींची गई किसी भी क्षैतिज रेखा के लिए, फ़ंक्शन का आलेख उस क्षैतिज रेखा को अधिकतम एक बार पार करता है।
आलेखीय रूप से:
यह क्षैतिज रेखा परीक्षण पास करता है
यह क्षैतिज रेखा परीक्षण पास नहीं करता है
उलटा ढूँढना
किसी दिए गए फलन \(f(x)\) का प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए आपको एक समीकरण को हल करना होगा।
वास्तव में, आपके पास समीकरण \(f(x) = y\) है, आप \(y\) को दी गई संख्या के रूप में लेते हैं, और आपको इसे \(x\) के लिए हल करने की आवश्यकता है, और आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि समाधान अद्वितीय है।
बस इतना ही। आसान, है ना??
अब, व्यावहारिक चरणों पर:
चरण 1:
किसी दिए गए \(y\) के लिए, समीकरण सेट करें:
और इसे \(x\) के लिए हल करें।
चरण 2:
सुनिश्चित करें कि आप यह देखने के लिए ध्यान दें कि किस \(y\) के लिए वास्तव में एक अद्वितीय समाधान है।
चरण 3:
एक बार जब आप \(x\) को \(y\) के रूप में हल कर लेते हैं, तो वह व्यंजक जो \(y\) पर निर्भर करता है, वह आपका \(f^{-1}(y)\) होगा।
चरण 4:
परिवर्तनीय नाम को \(y\) से \(x\) में बदलें और आपके पास अपना उलटा कार्य \(f^{-1}(x)\) है।
उदाहरण 1
फलन का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए \(f(x) = \sqrt x\)
उत्तर:
इसलिए, हम दिए गए अनुसार \(y\) लेते हैं और हमें \(f(x) = y\) को हल करने की आवश्यकता होती है, जो इस मामले में हल करने के अनुरूप है।
\[\sqrt x = y\]ध्यान दें कि वर्गमूल हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए समाधान प्राप्त करने के लिए, हमें उस \(y\ge 0\) की आवश्यकता होती है।
दोनों पक्षों पर वर्ग लगाने पर हम पाते हैं कि
\[\Rightarrow \,\, (\sqrt x)^2 = y^2\] \[\Rightarrow \,\, x = y^2\]तो फिर, \(f^{-1}(y) = y^2\), और चर नाम बदलने पर, हमारे पास उलटा कार्य है
\[f^{-1}(x) = x^2\]\(x\ge 0\) के लिए।
उदाहरण 2
\(x > -1\) के लिए फलन \(f(x) = \displaystyle \frac{x}{x+1}\) का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
फिर से, हम दिए गए अनुसार \(y\) लेते हैं, और अब हमें \(x\) समीकरण \(f(x) = y\) के लिए हल करने की आवश्यकता है। तो हमारे पास
\[\displaystyle \frac{x}{x+1} = y\] \[\Rightarrow \,\, x = y(x+1)\] \[\Rightarrow \,\, x = yx + y\] \[\Rightarrow \,\, x - yx = y\] \[\Rightarrow \,\, x(1 - y) = y\] \[\Rightarrow \displaystyle \,\, x = \frac{y}{1-y}\]तो फिर, \(f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y}{1-y}\), और चर नाम बदलने पर, हमारे पास उलटा कार्य है
\[f^{-1}(x) = \displaystyle \frac{x}{1-x}\]किसी फ़ंक्शन के व्युत्क्रम को खोजने के बारे में अधिक जानकारी
प्रतिलोम फलन \(f^{-1}(x)\) के महत्वपूर्ण गुणों में से एक यह है कि \(f(f^{-1}(x)) = x\)।
सोचिए क्या कह रही है ये बात। कुछ इस तरह: "उलटा पर मूल्यांकन किया गया फ़ंक्शन आपको पहचान देता है"।
या दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन के माध्यम से व्युत्क्रम का मूल्यांकन करना तर्क के लिए कुछ नहीं करने जैसा है।
या जैसे कुछ लोग कहना पसंद करते हैं: फ़ंक्शन एक तरह से व्युत्क्रम को रद्द कर सकता है।
आप अपना संस्करण चुनें।
द्विघात फलन का व्युत्क्रम कैसे ज्ञात करें? क्या आप?
दरअसल, जवाब है: यह निर्भर करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि हम एक द्विघात फलन पर विचार करते हैं पूरी वास्तविक रेखा पर , तो यह 1-से-1 नहीं है, क्योंकि यह क्षैतिज रेखा परीक्षण पास नहीं करता है, जैसा कि आप नीचे दिए गए चार्ट में देख सकते हैं:
क्षैतिज रेखा परीक्षण पास न करके, हम देख सकते हैं कि किसी दिए गए \(y\) के लिए एक से अधिक \(x\) मान हैं ताकि \(f(x) = y\), इसलिए हम \(x\) के लिए "हल" नहीं कर सकते, क्योंकि एक से अधिक \(x\) हैं।
लेकिन, यदि आप डोमेन को प्रतिबंधित करते हैं, और केवल सकारात्मक संख्याएँ कहने पर विचार करते हैं, तो हमें निम्नलिखित प्राप्त होंगे:
जो क्षैतिज रेखा परीक्षण पास करता है, और इसलिए, द्विघात फलन उलटा होता है।
कहानी का नैतिक: यह जांचने के लिए कि क्या कुछ उलटा है, यह केवल कार्य के बारे में नहीं है। यह फ़ंक्शन और इसके बारे में है डोमेन और सीमा .
उलटा कार्य ग्राफ़ को जल्दी से कैसे समझें
फ़ंक्शन \(f(x)\) उलटा है या नहीं, इसका आकलन करने की हमेशा आवश्यकता होती है (यह जांच कर कि यह एक-से-एक है या नहीं)। लेकिन यह मानते हुए कि आप जानते हैं कि यह उलटा है, व्युत्क्रम का ग्राफ खोजने का एक आसान तरीका है।
सबसे पहले, दिए गए फलन \(f(x)\) को आलेखित करें।
फिर, 45 डिग्री रेखा \(y = x\) ग्राफ़ करें।
\(f^{-1}(x)\) को ग्राफ़ करने के लिए, आपको बस इतना करना है कि \(f(x)\) के ग्राफ को 45 डिग्री लाइन \(y = x\) के माध्यम से दर्पण की तरह प्रतिबिंबित करना है।
\(f(x) = \sin x\) और \(f^{-1}(x) = \arcsin x\) कार्यों के साथ नीचे दिया गया उदाहरण देखें।
इसे देखने का दूसरा तरीका, मूल का उपयोग करना है ग्राफ और \(x\) के मान को \(y\) के मान से बदलें।
क्या किसी फ़ंक्शन का अपना उलटा होने का कोई तरीका है?
हां, यह वास्तव में संभव है, लेकिन यह केवल पहचान कार्य के लिए होता है, यह \(f(x) = x\) के साथ है।