किसी फलन का आलेख क्रमित युग्मों का एक समुच्चय है \((x,y)\)। या, फ़ंक्शन का ग्राफ एक अवधारणा है जिसे हम एक समन्वय प्रणाली पर \((x,y)\) जोड़े का एक सेट करते हैं। मैं कहता हूं कि यह एक अवधारणा है, क्योंकि जिस तरह से हम एक ग्राफ का प्रतिनिधित्व करते हैं वह एक हद तक एक ऑप्टिकल भ्रम है।

मैं ऐसा क्यों कहुं? खैर, देख लीजिए। जब मैं "ग्राफ" कहता हूं तो आप क्या सोचते हैं। पहले आंकड़ा जांचें।

तो यह एक ग्राफ है। \((x, y)\) जोड़े का एक सेट, या जैसा कि हम उन्हें भी कह सकते हैं, अंक। नीचे एक विशिष्ट बिंदु पर प्रकाश डाला गया है, एक नज़र डालें

चाल, या दृश्य भ्रम, यह है कि एक बिंदु, सिद्धांत रूप में, कोई आयाम नहीं है (कोई चौड़ाई नहीं, कोई लंबाई नहीं)। तो यह "वक्र" हम एक ग्राफ का प्रतिनिधित्व करने के लिए आकर्षित करते हैं, यह एक ग्राफ का प्रतिनिधित्व करने का एक सुविधाजनक तरीका है, लेकिन हम एक तरह से धोखा दे रहे हैं, क्योंकि इस प्रतिनिधित्व में एक वक्र है जिसकी मोटाई है।

तो, यह आपकी परेड पर बारिश करने के लिए नहीं है, यह सिर्फ यह स्पष्ट करने के लिए है कि आप जिसे एक ग्राफ के रूप में समझते हैं, वह बल्कि एक है प्रतिनिधित्व एक ऐसे ग्राफ का जो सुविधाजनक और विश्वसनीय हो।

कार्यों से जुड़े रेखांकन

ग्राफ़ को परिभाषित करने का एक बहुत ही आसान तरीका \(f(x)\) फ़ंक्शन का उपयोग करना है। दरअसल, \(f(x)\) फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित एक ग्राफ \(x \in D\) के लिए सभी बिंदुओं \((x, f(x))\) का सेट है, जहां \(D\) फ़ंक्शन \(f\) का डोमेन है।

प्रतिनिधित्व पिछले ग्राफ़ के समान है, केवल अब हम निम्नलिखित कार्य करते हैं:

इस मामले में, सबसे स्पष्ट अंतर यह है कि जोड़ी का दूसरा घटक \((x,y)\) केवल कोई मान \(y\) नहीं है। दूसरा घटक \(f(x)\) है, इसलिए यह विशिष्ट रूप से \(x\) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

उदाहरण 1

फलन \(f(x) = x^2\) का आलेख आलेखित करें।

उत्तर:

कुछ भी अजीब नहीं है, हमें बस एक फंक्शन का ग्राफ बनाने की जरूरत है। ग्राफ में बिंदु \((x, f(x)) = (x, x^2)\) के रूप में हैं। यह है, \(x\) का मान ग्राफ पर \(x^2\) से जुड़ा है।

ग्राफ़ पर मौजूद बिंदुओं के उदाहरण: \((1, 1)\), \((2, 2^2) = (2, 4)\), \((3, 3^2) = (3, 9)\), आदि। ग्राफ़िक रूप से हमें ग्राफ़ का निम्नलिखित प्रतिनिधित्व मिलता है:

सतत बनाम असंतत रेखांकन

जब हम एक ग्राफ के बारे में सोचते हैं तो हम अपने दिमाग में एक धारणा बनाते हैं कि वह चिकनी है, बिना किसी छलांग के। यह हमेशा की घटना नहीं है। ऐसे कार्य हैं जो उन कार्यों की ओर ले जाते हैं जो कूदते हैं, या यहां तक कि अजीब रेखांकन भी करते हैं। अन्य कार्यों में ऐसे ग्राफ़ होते हैं जो बहुत चिकने होते हैं, जैसे कि यह \(f(x) = x^2\) के साथ हुआ था।

एक फ़ंक्शन की चिकनाई की अवधारणा को औपचारिक रूप से कैलकुलस में निरंतर कार्य की धारणा के साथ निपटाया जाता है। लेकिन बिना किसी फज़ के, हम कह सकते हैं कि, अभी के लिए, हम सोचेंगे कि एक निरंतर फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसमें "चिकना" ग्राफ होता है, और एक असंतुलित फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जो चिकना नहीं होता है, या इसमें "कूदता है" ".

उदाहरण 2

क्या फलन \(f(x) = sin(x)\) निरंतर है?

उत्तर:

खैर, फिर से, हमें जाँच करने के लिए औपचारिक निरंतरता विश्लेषण की आवश्यकता होगी। लेकिन ऊपर दी गई अनौपचारिक परिभाषा के प्रकाश में, आइए हम इसके ग्राफ की जाँच करें। कंप्यूटर हमें निम्नलिखित देता है:

मैं कहूंगा कि ऊपर दिया गया ग्राफ बिना किसी छलांग के बहुत चिकना दिखता है, इसलिए हमारी भोली परिभाषा का उपयोग करते हुए, मैं कहूंगा कि \(f(x) = \sin x\) निरंतर है।

उदाहरण 3

क्या फलन \( f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{cc}-1 &\,\,\,\,\text{for } x\le 1 \\ \\ x & \,\,\,\,\,\,\text{for }x>1 \\ \end{array} \right.\) निरंतर है?

उत्तर:

प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें ग्राफ को प्लॉट करना होगा। कंप्यूटर हमें निम्नलिखित देता है:

ध्यान दें कि \(x = 1\) बिंदु पर एक छलांग है, इसलिए मैं कहूंगा कि ऊपर दिए गए ग्राफ़ में एक छलांग है, और इसलिए, यह फ़ंक्शन बंद है।

ग्राफ़ के बारे में अधिक जानकारी

किसी फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए ग्राफ़ का उपयोग करना किसी फ़ंक्शन के व्यवहार को समझने में महत्वपूर्ण भूमिका निभा सकता है।

फ़ंक्शन \(f(x)\) के व्यवहार को समझने के लिए पर्याप्त विश्लेषणात्मक (कैलकुलस) उपकरण हैं, इसे प्लॉट करने की आवश्यकता के बिना। लेकिन, ग्राफ को देखना बहुत व्यावहारिक है क्योंकि यह वास्तव में एक त्वरित तरीका है जिससे यह अंदाजा लगाया जा सकता है कि फ़ंक्शन क्या कर रहा है।

ध्यान दें कि सभी ग्राफ़ फ़ंक्शंस से नहीं आने चाहिए। उदाहरण के लिए, रेखांकन संबंधों से भी आ सकते हैं। नीचे दिए गए ग्राफ को देखें और मुझे बताएं कि क्या आप यह जान सकते हैं कि इससे क्या संबंध है।

आपने सही कहा, ऊपर दिया गया ग्राफ एक इकाई सर्कल के समीकरण का प्रतिनिधित्व है, \(x^2 + y^2 = 1\), जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, यह एक संबंध निर्धारित करता है, न कि एक फ़ंक्शन।

यदि आपको एक ग्राफ बनाने की आवश्यकता है, तो कोशिश करें फंक्शन ग्राफर फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है इसका एक अच्छा चित्रण प्राप्त करने के लिए।